2025常微分方程第九章一阶微分方程与可降阶的微分方程第1节第二部分、题型解析题型一：一阶微分方程的求解(★★★)解题思路——几种一阶微分方程都不难求解，属于基础题，将微分方程化简，判断微分方程的类型，然后用相应的方法计算即可.1.可分离变量的微分方程形如()()dyfxgydx=称为可分离变量的微分方程.求解步骤：第一步：分离x和y，写成()()dyfxdxgy=的形式.第二步：两端积分()()gydyfxdx=.第三步：求出通解()()GyFxC=+，可以是显式通解也可以是隐式通解.2.齐次方程形如dyyfdxx=称为齐次方程.求解步骤：第一步：令yux=,即yux=,则.dyduuxdxdx=+第二步：将yux=及dyduuxdxdx=+代入原方程，化成可分离变量方程.()dudxfuux=−第三步：两端积分()dudxfuux=−，得()uux=.第四步：再用yx代替u，得通解().yxux=3.一阶线性微分方程形如()()dyPxyQxdx+=叫做一阶线性微分方程.可利用通解公式来求解()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC−=+.4.伯努利方程(仅数一)形如()()(0,1)ndyPxyQxyndx+=，其求解步骤如下：第一步：方程的两边同除ny得1()()nndyyPxyQxdx−−+=.第二步：凑微分得111()()1nndyPxyQxndx−−+=−第三步：换元令1nzy−=得一阶线性方程(1)()(1)()dznPxznQxdx+−=−第四步：求(1)()(1)()dznPxznQxdx+−=−的通解()zzx=.第五步：将1nzy−=回代得到原方程的通解为1()nyzx−=.【例9.1.1】已知函数()yyx=在任意点x处增量21yyxx=++，且当0x→时，是比x的高阶无穷小.()0y=，则()1y等于().(A)2(B)(C)4e(D)4e【例9.1.2】求初值问题()2210(0)0xyxydxxdyxy=++−==的解.【例9.1.3】求解微分方程323(23)dyxxydxx−−=，10xy==．【例9.1.4】求方程32(21)0ydxxydy+−=的通解.【例9.1.5】微分方程24dyyxydxx−=的通解是.题型二：可降阶类型的微分方程求解(仅数一、数二)(★)解题思路——可降阶的微分方程考的较少，属于较基础的题目，掌握相应求解的方法即可.1.()()nyfx=型积分n次即得()yx.2.(),yfxy=型(缺y型)，求解步骤如下：第一步：设yp=则yp=，于是方程降阶成一阶方程(),pfxp=第二步：求(),pfxp=的通解为()1,ppxC=.第三步：将yp=代入()1,ppxC=得1(,)dypxCdx=第四步：求1(,)dypxCdx=的解，从而得原方程的通解为12(,)ypxCdxC=+3.(),yfyy=型(缺x型)的微分方程，求解步骤如下：第一步：设yp=于是dpdpdydpyppdxdydxdy====，于是原方程化为(,)dpp...
