2025微分中值定理第四章第一部分知识点解析一、函数中值定理(闭区间上连续函数的性质)1.最大值和最小值定理若()fx在,ab上连续，则()fx在,ab上必有最小值和最大值．2.零点定理设函数()fx在[,]ab上连续，且()fa与()fb异号，那么在开区间(),ab内至少有一点使()0f=．3.介值定理设函数()fx在[,]ab上连续，在这区间内()fx最小值是m最大值是M，则任取mCM，在闭区间[,]ab内至少有一点，使得()fC=．4.平均值定理设函数()fx在[,]ab上连续，当12naxxxb时,则在1[,]nxx内至少存在一点,使12()()()().nfxfxfxfn+++=二、微分中值定理1.费马引理设函数()fx在点0x的某邻域内有定义且满足：(1)在0x处可导;(2)在0x处取得极值，那么0()0fx=2.罗尔定理设函数()fx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导；(3)()()fafb=;则至少存在一点(),ab，使得()0f=．3.拉格朗日中值定理设函数()fx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(,)ab内可导；则至少存在一点(,)ab，使得()()()fbfafba−=−．4.柯西中值定理设函数()fx和()gx满足：(1)在闭区间[,]ab上连续；(2)在开区间(),ab内可导，且()0gx，则至少存在一个(),ab使得()()()()()()fbfafgbgag−=−．5.泰勒中值定理(带有拉格朗日余项的泰勒公式)如果()fx在0x的一个邻域内1n+阶可导，则()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!nnnnfxfxffxfxxxxxxxnn++=+−++−+−+,其中是0x到x之间的某个值.注：(),ab的等价形式是()aba=+−，其中(0,1).umf(al=f(b)fix[a.b]·(a·b)-Ot10.1)IIIfa+(b-a)0)=0A3ba+o(b-a)三、定积分中值定理如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续则至少存在一个点[,]ab使()()()bafxdxbaf=−.推广的积分中值定理：如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续则至少存在一个点(,)ab使()()()bafxdxbaf=−.注：默认用开区间的版本.第二部分题型解析题型一：单中值等式问题(★★★★)解题思路——碰到单中值定理问题后，分析步骤如下：第一步、分析待证结论，如果左右两边都含中值，务必要把它们移项放到同一侧.比如要证存在使()f=先变成证()0f−=.如果两边是分式，则十字交叉相乘再移项,比如要证存在使得()()()()ffgg=，先交叉相乘再移项变成证()()()()0fgfg−=.第二步、分析待证结论的左右两端，寻求恰当的中值定理来证明.情形一、()0F=型：...
