2025多元函数微分学第十章多元函数的基本概念第一节第二部分、题型解析题型一：二元函数的极限(★)定义当(,)xy以任意方式趋于00(,)xy时，(,)fxy均趋于A，则00(,)(,)lim(,)xyxyfxyA→=.解题思路——如果要求00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→，但尚不知道其是否存在，则应第一步、先判断.先取一些特殊的路径让00(,)(,)xyxy→判断极限是否存在，如果(1)某种趋向下(,)fxy极限不存在；(2)存在两种不同的趋向，(,)fxy分别趋于两个不同的常数，则极限必定不存在.如果(,)fxy总趋于同一个数A，则进行下一步.第二步、再计算用如下方法来计算函数极限：(1)极限的四则运算法则；(2)等价无穷小的代换法；(3)夹逼准则；(4)有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小，等等.如果题目已知00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→存在，或易由上述方法求出极限，则可直接进行第二步计算，无需第一步判断.【例10.1.1】讨论3224200||limxyxyxy→→+是否存在.【例10.1.2】讨论4424300lim()xyxyxy→→+的存在性.题型二：二元函数的连续性(★)解题思路——如果要判断(,)fxy在00(,)xy处是否连续，应先判断00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→是否存在，如果不存在则必不连续；如果存在则再判断00(,)(,)lim(,)xyxyfxy→与00(,)fxy是否相等，相等则连续，不相等则不连续.注：多元初等函数在有定义的区域内必然处处连续.【例10.1.3】讨论函数3322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyfxyxyxy−=+=在(0,0)处的连续性．题型三：多元函数的可偏导性(★★)1.偏导数定义对x的偏导数：000000000000(,)(,)(,)(,)(,)limlimxxxxfxxyfxyfxyfxyfxyxxx→→+−−==−，或记作00xxyyzx==.对y的偏导数：000000000000(,)(,)(,)(,)(,)limlimyyyyfxyyfxyfxyfxyfxyyyy→→+−−==−，或记作00xxyyzy==.2.高阶偏导数(,)xfxy(,)yfxy共有如下四个二阶偏导数：22()(,)xxzzfxyxxx==2()(,)xyzzfxyyxxy==2()(,)yxzzfxyxyyx==22()(,)yyzzfxyyyy==.类似地可定义三阶、四阶n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数混合偏导数的性质如果(,)xyfxy及(,)yxfxy连续那么它们必相等.解题思路——(,)fxy在00(,)xy处可偏导的充要条件是如下极限都存在：0000000(,)(,)(,)limxxxfxyfxyfxyxx→−=−0000000(,)(,)(,)limyyyfxyfxyfxyyy→−=−【例10.1.4】函数222222,0,(,)0,0xyxyxyfxyxy++=+=在点(0,0)处().(A...
