数学第6讲双曲线高三一轮复习重难点题型考点一双曲线的标准方程[题组练透]1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±34x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1解析：由题意得ba＝34，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.答案：B2．(一题多解)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1解析：法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是x22－y2＝1.法二：设所求双曲线标准方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为x22－y2＝1.答案：B3．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，7)，所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线标准方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝14．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ(λ>0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝15．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．解析：因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且4－a2＋b2＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x24－y212＝1.答案：x24－y212＝1[解题技法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．[提醒]求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．...
