数学第6讲空间向量的综合应用高三一轮复习重难点题型求空间距离如图，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝12CD＝1，E为PC的中点．(1)证明：BE∥平面PAD；(2)若AB⊥平面PBC，△PBC是边长为2的正三角形，求点E到平面PAD的距离．【解】(1)证明：如图，取PD的中点F，连接AF，EF，因为E为PC的中点，F为PD的中点，所以EF∥CD且EF＝12CD.又AB∥CD且AB＝12CD，所以EF∥AB且EF＝AB，故四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(2)如图，取BC的中点O，AD的中点M，连接OP，OM，则OM∥AB∥CD.在等边△PBC中，PO＝3，OP⊥BC.又AB⊥平面PBC，所以OM⊥平面PBC.如图，以O为坐标原点，分别以射线OC，OM，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，3)，A(－1，1，0)，D(1，2，0)，C(1，0，0)，故E12，0，32.所以AD→＝(2，1，0)，PA→＝(－1，1，－3)，PE→＝12，0，－32.设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AD→＝0，n·PA→＝0，即2x＋y＝0，－x＋y－3z＝0，令x＝1，则y＝－2，z＝－3，故n＝(1，－2，－3)为平面PAD的一个法向量．所以点E到平面PAD的距离d＝|n·PE→||n|＝12×1＋0×（－2）＋－32×（－3）12＋（－2）2＋（－3）2＝22.求空间距离常用的方法(1)直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理，作出垂线段，再通过解三角形求出距离．(2)间接法：利用等体积法、特殊值法等转化求解．(3)向量法：空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解．求点P到平面α的距离的三个步骤：①在平面α内取一点A，确定向量PA→的坐标；②确定平面α的法向量n；③代入公式d＝|PA→·n||n|求解．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.32B.22C.33D.233√解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，所以DD1→＝(0，0，2)，DA1→＝(2，0，2)，DB→＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，由DA1→·n＝0得x＋z＝0，由DB→·n＝0得x＋y＝0，取x＝1，则n＝(1，－1，－1)，所以点D1到平面A1BD的距离是d＝|DD1→·n||n|＝23＝233.探索性问题(2021·洛阳尖子生第一次联考)如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝26，DE＝36.(1)求证：平面ACE⊥平面BED；(2)求直线CA与平面BEF...
