1原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司9.2.3向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cosθe.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.考点五平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义1．设，，是三个向量，以下四个选项正确的是（）2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A．B．若，，则C．若，且，则D．若，，，则2．已知O为所在平面内一点，若，则（）A．B．C．D．3．对于非零向量，下列命题中正确的是A．B．在上的投影向量为是与方向相同的单位向量）C．D．题型二：数量积的运算4．已知，，，则（）A．B．C．D．5．已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（）A．B．C．D．6．若，则、应满足（）A．、都是零向量B．、是平行向量3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司C．、中有一个是零向量或、是平行向量D．是零向量或、是反向向量且满足题型三：数量积和模关系问题7．在平行四边形中，已知，则（）A．B．C．D．8．若向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（）A．B．1C．D．9．已知向量满足，则向量的模的最大值为（）A．B．C．D．题型四：向量夹角的计算10．若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（）A...
