19.2.3向量的数量积【考点梳理】考点一两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.考点二向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.考点三投影向量在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cosθe.考点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.考点五平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数量积的定义和几何意义原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21．（2022·高一课）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（）A．12B．8C．-8D．22．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A．4B．8C．D．3．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（）A．B．C．2D．4题型二：数量积的运算4．（2023·高一）下列式子中，正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．5．（2022·高一）已知平面向量均为非零向量，则下列结论正确的是（）A．若，则B．C．若，则D．若，则6．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中，，，在矩形的边上，且为的中点，则（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3A．B．C．5D．7题型三：数量积和模关系问题7．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知，，，则（）A．B．2C．D．48．（2022春·云南保山·高一统考期末）向量，的夹角为120°，且，，则等于（）A．2B．C．D．9．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．题型四：向量夹角的计算10...
