课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练201A组基础巩固练课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练21．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD︵所在平面垂直，M是CD︵上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练2[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为CD︵上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练2(2)以D为坐标原点，DA→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为CD︵的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，AM→＝(－2,1,1)，AB→＝(0,2,0)，DA→＝(2,0,0)．课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练2设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则n·AM→＝0，n·AB→＝0，即－2x＋y＋z＝0，2y＝0.可取n＝(1,0,2)．DA→是平面MCD的法向量，因此cos〈n，DA→〉＝n·DA→|n||DA→|＝55，sin〈n，DA→〉＝255.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是255.课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练22．(2020·广东四校联考)如图①，已知三棱锥PABC，其展开图如图②所示，其中四边形ABCD是边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：图①图②课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练2(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角PBCM的余弦值．[解](1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝PC＝2，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题1A组基础巩固练B组综合运用练2因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝2，所以PO2＋OB2...
