课后限时集训(四十六)立体几何中的最值、翻折、探索性问题建议用时：40分钟1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，AM＝(－2,1,1)，AB＝(0,2,0)，DA＝(2,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1,0,2)．DA是平面MCD的法向量，因此cos〈n，DA〉＝＝，sin〈n，DA〉＝.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.2．(2020·广东四校联考)如图①，已知三棱锥PABC，其展开图如图②所示，其中四边形ABCD是边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：1图①图②(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)若M是PA的中点，求二面角PBCM的余弦值．[解](1)证明：如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)由(1)可知PO⊥OB，PO⊥AC，OB⊥AC，以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(－1,0,0)，P(0,0,1)，M，所以BC＝(1，－1,0)，PC＝(1,0，－1)，MC＝.设平面MBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，由得令x1＝1，得y1＝1，z1＝3，即m＝(1,1,3)为平面MBC的一个法向量．设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，由得令x2＝1，得y2＝1，z2＝1，即n＝(1,1,1)为平面PBC的一个法向量．cos〈n，m〉＝＝＝.由图可知，二面角PBCM为锐角，故其余弦值为.3.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余...
