“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝.(4)向量的夹角：cosθ＝＝.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cosθ＝线面夹角l，α的夹角为θ，sinθ＝面面夹角α，β的夹角为θ，cosθ＝其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合．空间向量与空间位置关系[例1]如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证：(1)MN∥平面PAD；“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/(2)平面PMC⊥平面PDC.[证明]如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA＝AD＝a，AB＝b.则有，(1)P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． M，N分别为AB，PC的中点，∴M，N.∴MN＝，AP＝(0,0，a)，AD＝(0，a,0)，∴MN＝AD＋AP.又 MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)由(1)可知：PC＝(b，a，－a)，PM＝，PD＝(0，a，－a)．设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则∴令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)．设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则∴令z2＝1，则n2＝(0,1,1)， n1·n2＝0－b＋b＝0，∴n1⊥n2.∴平面PMC⊥平面PDC.(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示...
