2009-2010学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷.doc

馨雅资源网 2009-2010学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 3．（4分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 4．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 5．（4分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．72° 6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 7．（4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）一种胸花图案的制作过程如图1﹣图3，图1中每个圆的半径均为1．将图1绕点O逆时针旋转60°得到图2，再将图2绕点O逆时针旋转30°得到图3，则图3中实线的长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　． 10．（4分）若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（1，m）、B（2，n），则m　 　n（填“＜”或“＝”或“＞”）． 11．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　 　． 12．（4分）图1中的“箭头”是以AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∠BAD＝90°，AB＝2．图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中BC的长为　 　． 三、解答题（共13小题，满分72分） 13．（5分）计算：． 14．（5分）解方程：x2+x﹣1＝0． 15．（5分）化简：． 16．（5分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC＝∠ADE，AB＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC的长． 17．（5分）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值． 18．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … （1）m的值为　 　； （2）求这个二次函数的解析式． 19．（5分）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC． 求证：△ABE≌△ACD． 20．（5分）圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度． 21．（5分）已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC的长． 22．（5分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，DE＝6，求⊙O的直径． 23．（7分）如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点．如果∠PAD＝∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点．如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6． （1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为　 　； （2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P的坐标； （3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式． 24．（8分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确． A. B. C. （1）正确的选项是　 　； （2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论； （3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC． 25．（7分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．直线y＝x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当m＝2时，求∠DCF的大小； （3）若在直线y＝x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P只有两个，则m的值为　 　．（第（3）问不要求写解答过程） 2009-2010学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分） 1．（4分）下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，对称轴是长方形一组长边的垂直平分线．正确； B、不是轴对称图形．错误； C、不是轴对称图形．错误； D、不是轴对称图形．错误． 故选：A． 【点评】掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（4分）将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝x2+5，正确的叙述是（　　） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（0，5）， ∴是抛物线y＝x2向上平移5个单位得到， 故选：A． 【点评】上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，而纵坐标发生了改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 3．（4分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（　　） A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：2 【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3 ∴S△ADE：S△ABC＝4：9 故选：A． 【点评】熟练掌握三角形的性质． 4．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【分析】直接根据顶点式的特殊形式求顶点坐标． 【解答】解：因为y＝（x﹣2）2﹣3是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法． 5．（4分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝28°，则∠BAD的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．72° 【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数． 【解答】解：连接BD ∵AB为⊙O直径 ∴∠ADB＝90° ∵∠B＝∠ACD＝28° ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝62°． 故选：C． 【点评】考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一． 6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0； B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0； C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0； D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0． 故选：D． 【点评】主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 7．（4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′＝∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D． 根据旋转性质可知，∠B′＝∠B． 在Rt△BCD中，tanB＝＝， ∴tanB′＝tanB＝． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 8．（4分）一种胸花图案的制作过程如图1﹣图3，图1中每个圆的半径均为1．将图1绕点O逆时针旋转60°得到图2，再将图2绕点O逆时针旋转30°得到图3，则图3中实线的长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【分析】利用正多边形的性质求出∠AOB即可解决问题． 【解答】解：根据题意，∠AOB可以看成正十二边形的中心角＝＝30°， ∴∠AO′B＝60°， ∴实线的长为12×＝4π， 故选：D． 【点评】本题考查弧长公式、正多边形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 9．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠2　． 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0． 【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0， 解得：x≠2． 故答案为：x≠2． 【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0． 10．（4分）若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（1，m）、B（2，n），则m　＜　n（填“＜”或“＝”或“＞”）． 【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答． 【解答】解：y＝2x2﹣3的对称轴为x＝0，开口方向向上，顶点为（0，﹣3）． 对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小，1比2距离近，所以m＜n． 【点评】本题主要考查二次函数的性质．对于开口向上的函数，x距离对称轴越近，y值越小． 11．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　（9，0）　． 【分析】位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线． 【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（9，0），所以位似中心的坐标为（9，0）． 【点评】本题考查位似中心的找法，各对应点所在直线的交点即为位似中心． 12．（4分）图1中的“箭头”是以AC所在直线为对称轴的轴对称图形，∠BAD＝90°，AB＝2．图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中BC的长为　2　． 【分析】正方形的性质可知AB为正方形边长，2AE为正方形边长，又AB＝2，在R△ABE中，由勾股定理求BC的长度． 【解答】解：由正方形的性质，得AB＝AA′＝2AE， 又AB＝2，∴AE＝1，BE＝＝， 再由折叠的性质，得BC＝2BE＝2． 【点评】本题考查轴对称的性质，有一定的难度，关键在于结合图形进行解答． 三、解答题（共13小题，满分72分） 13．（5分）计算：． 【分析】首先对特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂、绝对值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式＝（4分） ＝．（5分） 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算． 14．（5分）解方程：x2+x﹣1＝0． 【分析】观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解． 【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1， b2﹣4ac＝1+4＝5＞0， x＝； ∴x1＝，x2＝． 【点评】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法． 15．（5分）化简：． 【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简． 【解答】解：原式＝ ＝2x﹣4． 故答案为2x﹣4． 【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 16．（5分）如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC＝∠ADE，AB＝7，AD＝3，AE＝2.7，求AC的长． 【分析】已知∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长． 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ∵∠ABC＝∠ADE，∠A＝∠A ∴△ABC∽△ADE（2分） ∴（3分） ∴＝＝6.3（5分） 【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力． 17．（5分）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值． 【分析】将一根k代入方程3x2﹣2x﹣1＝0，可得：3k2﹣2k﹣1＝0；再将代数式（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7去括号，整理，问题可求． 【解答】解：∵k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根， ∴3k2﹣2k﹣1＝0， ∴3k2﹣2k＝1； ∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7， ＝k2﹣2k+1+2（k2﹣1）+7， ＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+7， ＝3k2﹣2k+6， ＝1+6， ＝7． 【点评】本题规律为已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程； 解题时，常常将其代入方程，对式子合理变形来解决问题． 18．（5分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … （1）m的值为　0　； （2）求这个二次函数的解析式． 【分析】（1）根据二次函数的对称性结合表中数据可看出对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，﹣4），所以x＝3和x＝﹣1是关于直线x＝1成轴对称的关系，故可得m＝0； （2）方法一：利用交点式求解，设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），再找一组点的坐标代入即可求出a值； 方法二：利用顶点式求解，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，同样也是找一组点的坐标代入即可求出a的值． 【解答】解：（1）0； （2）解法一：设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3） ∵点（0，﹣3）在函数图象上， ∴﹣3＝a（0+1）（0﹣3）． 解得a＝1 ∴这个二次函数的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）； 解法二：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4 ∵抛物线经过点（﹣1，0）， ∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4． 解得a＝1 ∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4． 【点评】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．会从所给出的数据中发现其对称关系，求出顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标是解题的关键． 19．（5分）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连接DC． 求证：△ABE≌△ACD． 【分析】题中两个三角形均为等腰直角三角形，所以可得其腰相等，再加上一个角相等，即可证明其全等． 【解答】证明：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90， 即∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中，， ∴△ABE≌△ACD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，把实际问题转化为数学问题是一种能力，要注意培养． 20．（5分）圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度． 【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题． 【解答】解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系（1分） 此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0）． 设这条抛物线的解析式为y＝a（x﹣100）（x+100）（2分） ∵抛物线经过点B（50，150）， 可得150＝a（50﹣100）（50+100）． 解得． ∴抛物线的解析式为． 当x＝0时，y＝200（4分） ∴拱门的最大高度为200米．（5分） 解法二：如图所示建立平面直角坐标系．（1分） 设这条抛物线的解析式为y＝ax2．（2分） 设拱门的最大高度为h米，则抛物线经过点B（50，﹣h+150），D（100，﹣h）． 可得 解得，（4分） ∴拱门的最大高度为200米．（5分） 【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，很基础的二次函数问题． 21．（5分）已知：在△ABC中，∠B为锐角，，AB＝15，AC＝13，求BC的长． 【分析】过点A作AD⊥BC于D，解直角三角形ABD可求出BD，AD的长，解直角三角形ACD可求出CD的长．进而求BC的长． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D． 在△ADB中，∠ADB＝90°， ∵sinB＝，AB＝15， ∴AD＝AB•sinB＝． 由勾股定理，可得＝＝9． 在△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝13，AD＝12， 由勾股定理，可得． ∵AD＜AC＜AB， ∴当B、C两点在AD异侧时，可得BC＝BD+CD＝9+5＝14． 当B、C两点在AD同侧时，可得BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4． ∴BC边的长为14或4． 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 22．（5分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O经过BC的中点D，DE⊥AC于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，DE＝6，求⊙O的直径． 【分析】（1）连OD，先证明OD∥AC，再证明OD⊥DE． （2）由∠C的余弦值得到∠C的度数，接着可得到三角形BOD是等边三角形，由此得三角形ABC也是等边三角形．求出DC就可得到AB． 【解答】（1）证明：如图，连接OD；（1分） ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°． ∵O为AB中点，D为BC中点， ∴OD为△ABC的中位线． ∴OD∥AC． ∴∠ODE＝∠DEC＝90°． 即OD⊥DE． ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线．（2分） （2）解：∵， ∴∠C＝60°．（3分） ∵OD∥AC， ∴∠BDO＝∠C＝60°． ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB＝60°． ∴△ABC为等边三角形． ∵在△EDC中，∠DEC＝90°，DE＝6， ∴．（4分） ∵D为BC中点， ∴． ∴AB＝． ∴⊙O的直径为．（5分） 【点评】熟悉切线的判定定理．证明圆的切线问题要转化为证明线段垂直的问题．同时也要熟悉等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的数量关系．记住特殊角的三角函数值． 23．（7分）如图1，已知四边形ABCD，点P为平面内一动点．如果∠PAD＝∠PBC，那么我们称点P为四边形ABCD关于A、B的等角点．如图2，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6． （1）若A、D两点的坐标分别为A（0，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，则点P的坐标为　（6，2）　； （2）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（6，4），当四边形ABCD关于A、B的等角点P在DC边上时，求点P的坐标； （3）若A、D两点的坐标分别为A（2，4）、D（10，4），点P（x，y）为四边形ABCD关于A、B的等角点，其中x＞2，y＞0，求y与x之间的关系式． 【分析】（1）画出点A、D坐标，根据四边形ABCD是矩形可得点P在CD的中点处，写出相应坐标即可； （2）易得点P的横坐标为6，利用△PAD∽△PBC可得点P的纵坐标； （3）可分点P在直线AD的上方，或下方两种情况进行探讨：当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，利用点A的坐标可得相关代数式；当点P在直线AD的下方时，利用（2）中的相似可得相关代数式． 【解答】解：（1） 由图中可以看出P（6，2）． 故答案为（6，2）； （2） 依题意可得∠D＝∠BCD＝90°，∠PAD＝∠PBC，AD＝4，CD＝4，BC＝6． ∴△PAD∽△PBC， ∴， ∵PD+PC＝CD＝4， ∴． ∴点P的坐标为； （3）根据题意可知，不存在点P在直线AD上的情况； 当点P不在直线AD上时，分两种情况讨论： ①当点P在直线AD的上方时，点P在线段BA的延长线上，此时有y＝2x； ②当点P在直线AD的下方时，过点P作MN⊥x轴，分别交直线AD、BC于M、N两点， 与（2）同理可得△PAM∽△PBN，PM+PN＝4， 由点P的坐标为P（x，y），可知M、N两点的坐标分别为M（x，4）、N（x，0）． ∴． 可得． ∴． 综上所述，当x＞2，y＞0时，y与x之间的关系式为y＝2x或． 【点评】主要考查了相似三角形的应用；易错点在于分情况探讨等角点的位置；难点在于利用相似三角形的判定与性质得到点P的纵坐标． 24．（8分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确． A. B. C. （1）正确的选项是　C　； （2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论； （3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC． 【分析】（1）利用关系式sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答． （2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB＝AE+BE，分别让带有α两式相等即可． （3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S△ADC的面积公式即可． 【解答】解：（1）C． 2sin（α+30°）＝2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）＝． 故答案选C． （2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D． ∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1， ∴∠ACD＝α+30°． ∴在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝AC•sin∠ACD＝sin（α+30°）． ∵在△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2AD＝2sin（α+30°） 过点C作CE⊥AB于E． ∴在△CEA中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα． 在△BEC中，∠BEC＝90°，． ∴． ∴． （3）由上面证明的等式易得． 如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G． ∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝， ∴∠ADG＝75°，AD＝8，． ∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝． ∴在△ADG中，∠AGD＝90°，． ∴S△ADC＝＝＝． 【点评】本题考查了三角函数和化积差的函数式，要求学生掌握正余弦、正余切的和化积差和积差化和，熟练应用． 25．（7分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（8，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．直线y＝x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当m＝2时，求∠DCF的大小； （3）若在直线y＝x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P只有两个，则m的值为　﹣　．（第（3）问不要求写解答过程） 【分析】（1）已知抛物线过A（﹣2，0）、B（8，0）两点，可设交点式y＝a（x+2）（x﹣8），再将点C（0，﹣4）代入求a即可； （2）由抛物线解析式可知对称轴为x＝3，与y轴的交点（0，﹣4），可求MC的长，y＝x+2，可知D、F两点坐标，计算DM，FM，判断C、D、F三点在以M为圆心的圆上，利用圆周角定理求∠DCF的大小； （3）当直线y＝x+m下方的抛物线上存在点P，使得∠DPF＝45°，且满足条件的点P只有两个时，仿照（2）可求满足条件的m的值． 【解答】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣8）， ∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣4）， ∴﹣4＝a（0+2）（0﹣8）． 解得． ∴抛物线的解析式为，即； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为x＝3， ∵m＝2， ∴直线的解析式为y＝x+2， ∵直线y＝x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F， ∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（﹣2，0）． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为M， 可得CM＝FM＝MD＝5， ∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上． ∴∠DCF＝． （3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，﹣） 设F（3，3+m），则FG＝m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1， 当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合， 故DD1＝F′G，D点横坐标为：x＝﹣（F′G﹣3）＝﹣，纵坐标为﹣（F′G﹣3﹣m）＝， 将D点坐标抛物线解析式，解得． 【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴的两交点，可设交点式，综合运用圆的知识，解答抛物线中角的问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/9/4 16:50:14；用户：金雨教育；邮箱：309593466@；学号：335385 学魁网