1/3专题三直角三角形边角关系的应用本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．例1如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（）．A．B．C．D．分析：求CD的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF⊥BC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，则根据已知条件可求出DE=AF=AB·sinB，再根据三角函数求出CD的长．解：作AF⊥BC于F，DE⊥BC并交BC的延长线于E．在Rt△ABF中，因为AB=8，∠B=45°，所以AF=AB⋅sin45°=8×√22=4√2，所以．在Rt△CDE中，因为，所以，故选A．说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替．例2如图2，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，2/3且，AC上有一点E，满足AE∶EC=23∶．那么，tan∠ADE是（）．A．B．C．D．分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点E作EF⊥AD，再求出即可．解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，所以∠BAD=∠CAD．因为，∠B+∠CAD=90°，所以．作EF⊥AD交AD于F，则tan∠CAD．所以．因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥CB．又AE∶EC=23∶，所以AF∶FD=23∶．所以．所以．故选C．说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构3/3造直角三角形或寻找等角．本题采用了构造直角三角形的方法．专题训练：1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=_____．2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AC=，tan∠DAC=，则AB=（）．A．5B．C．D．3．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tanA的值．参考答案：1．2．A3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．因为CB=2，所以DB=4，CD=．所以AD=4，AB=8．作CE⊥BD，则CE=，DE=3．所以AE=7．所以tanA=．
