2022考研数学150之概率论（4-7）考研资料.pdfVIP免费

2022考研数学满分过关1501第四章数字特征重点题型一期望与方差的计算【例28】将3个球放入4个盒子中，每个球放入每个盒子都是等可能的，则有球的盒子数X的期望EX=.【详解】令1,,1,2,3,40,iiXii==第个盒子中有球第个盒子中无球，则330133144iX−，且41iiXX==∑，得3413414iiEXEX===−∑.【例29】设独立重复试验每次成功的概率为(01)pp<<，直到首次成功为止.若随机变量1,1,Y=−试验次数为奇数试验次数为偶数，则EY=.【详解】设首次成功的试验次数为X，则()XGp.由{}{}2011(1)2nnPYPXppp∞====−=−∑为奇数，得{}111122pPYpp−=−=−=−−，故11222ppEYppp−=−=−−−.【例30】设连续型随机变量X的分布函数为()Fx，()YFX=，则2EY=.【详解一】设X的概率密度为()Xfx，则22311()()()33XEYFxfxdxFx+∞+∞−∞−∞===∫【详解二】由题设知[]0,1YU，得22111()1243EYDYEY=+=+=.【例31】设随机变量X的概率密度为2141()xxfxeπ−+−=，则2792EXX−=.2022考研数学满分过关1502【详解一】22222122222771799()9222111119129222292xttttEXXxxfxdxxxedxtxttedttdeteeππππππ−−+∞+∞−∞−∞+∞+∞−−−∞−∞+∞−−−∞−=−=−=−++=−+=−−∫∫∫∫1915222dt+∞−∞+=+=∫【详解二】由22121124211()122xxxfxeeππ−−−+−×==，知11,22XN，故2277117999522244EXXEXEX−=−=+−=【例32】设随机变量X与Y相互独立均服从2(0,)Nσ，则{}max,EXY=.【详解】由题设得(,)XY的联合概率密度为fxye222221(,)2xyσπσ+−=，故{}{}{}22222220022002222max,max,(,)4max,(,)48(,)42xyyyyxyEXYxyfxydxdyxyfxydxdydyxfxydxdyxedxxedyedσσσπσπσ+∞+∞+∞+∞−∞−∞+−+∞+∞+∞+∞−−+=====∫∫∫∫∫∫∫∫22200044422yyedyyedσσπσσπσπσππ−+∞∞+∞−+∞===⋅=∫∫∫∫【例33】（1）设()XPλ，则3EX=；（2）设()XGp，则3EX=.【详解】（1）[]32232323332320(1)(2)32(1)(2)32(1)(2)3323!(3)!33!kkkkkkEXEXXXXXEXXXEXEXkkkeekkekλλλλλλλλλλλλλλλλλλ−∞∞−−==∞−==−−+−=−−+−=−−++−=++−=++=++∑∑∑2022考研...