２７９§7.2电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符的对易关系及其矩阵表示，自旋函数难点：反对易关系自旋和空间运动无关，相互独立，所以引入自旋后就增加了一个独立变量,自旋是第四个独立变量(zS)。例如：在坐标表象}S,z,y,x{}z,y,x{z→；在动量表象}S,p,p,p{}p,p,p{zzyxzyx→即确定状态的变量多了一个描述自旋的量。那么,自旋算符是怎样表示的？描写量子态的波函数又如何表示？一、自旋算符及其性质自旋角动量也是一个力学量。1.自旋算符的性质(1)共性：由于自旋角动量算符也是角动量算符，所以它应满足角动量算符的对易关系，即：SˆiSˆSˆrhrv=×(1)其分量形式为：zyxSˆi]Sˆ,Sˆ[h=；xzySˆi]Sˆ,Sˆ[h=；yxzSˆi]Sˆ,Sˆ[h=。(2)个性：一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量和坐标、动量无关，它是表示电子内部状态特征的，是描写电子状态的第四个变量，角动量等于prrr×不适合于自旋角动量。2.常数算符由于Sˆr在空间任何方向的投影只能取两个数值2h±，所以zyxSˆ,Sˆ,Sˆ三２８０个算符的可能值（本征值）都是2h±，它们的平方都是42h，即：4SSS22z2y2xh===和22z2y2x243SSSSh=++=所以2z2y2xSˆSˆSˆ==,2Sˆv都是常数算符(ConstantOperators)与任何算符都对易（这导致了下面的反对易关系）。说明：自旋量子数21s=，自旋磁量子数21ms±=。解释：对于轨道角动量算符有：22)1(Lhll+=；hlmLz=对于自旋角动量算符有：22)1s(sSh+=；hszmS=而2243Sh=；2Szh±=则自旋量子数21s=(只能取这一个值)，自旋磁量子数21ms±=。3.Pauli算符及其对易关系为简单起见，引入Pauli算符σˆr，它与Sˆv的关系为：σ=ˆ2Sˆrhr即：xxˆ2Sˆσ=h；yyˆ2Sˆσ=h；zzˆ2Sˆσ=h(2)其中zyxˆ,ˆ,ˆσσσ三个算符的可能值（本征值）都是1±，它们的平方都是1，即：12z2y2x=σ=σ=σ和32z2y2x2=σ+σ+σ=σ(3)也即：Iˆˆˆˆ2z2y2x=σ=σ=σ(单位算符)则对易关系为：σ=σ×σˆi2ˆˆrrr２８１即zyxˆi2]ˆ,ˆ[σ=σσ；xzyˆi2]ˆ,ˆ[σ=σσ；yxzˆi2]ˆ,ˆ[σ=σσ(4)反对易关系为：0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[}ˆ,ˆ{xyyxyxyx=σσ+σσ=σσ=σσ+0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[}ˆ,ˆ{yzzyzyzy=σσ+σσ=σσ=σσ+0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[}ˆ,ˆ{zxxzxzxz=σσ+σσ=σσ=σσ+(5)解释：证明第一个式子：xzxxzzxxzxxyyxˆi2ˆˆˆˆi2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆσσσ−σσ+σσ−σσσ=σσ+σσ]ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[i21xzxxxzzxxxzxσσσ−σσσ+σσσ−σσσ=而Iˆ...
