１４２§3.8力学量平均值随时间的变化守恒定律重点:Heisenberg运动方程和守恒定律难点:宇称守恒体系的状态随t的变化表现在两个方面：一是)t,r(rΨ直接描写的位置几率分布2)t,r(rΨ随t的变化；另一个是力学量随t的变化。因Ψ完全描写态，知道)t,r(rΨ后，即可求得每一个时刻t各力学量的变化。而态)t,r(rΨ的变化遵从dingeroSchr&&方程，故dingeroSchr&&方程不仅可以直接描写2)t,r(rΨ的变化，而且还能间接地描写各力学量的变化。当然，我们也可以由dingeroSchr&&方程推出一个力学量随时间变化的一般方程，即量子力学运动方程或海森堡运动方程，由它可以更直接的描述力学量的变化，并可得出一些重要结论。一、力学量的平均值随t的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg运动方程）1.dtdF和dtFd在经典力学中，任一力学量F在任何时刻都有确定值，因而F对时间的微商：dtdFt)t(F)tt(Flim0tΔ−Δ+=→Δ有确定的意义。在量子力学中则不然，除了在Fˆ的本征态中F有确定值（这时无需考虑F随t的变化）外，在一般态中，F并没有确定值，它可以以各种几率取它的各个本征值，这时dtdFt)t(F)tt(Flim0tΔ−Δ+=→Δ无意义，但F仍有意义，所以我们只观察１４３dtFd。2.Heisenberg运动方程的推导设)t,x(Ψ为归一化的波函数，则：Fdx)t,x(Fˆ)t,x(ΨΨ=∫∗（x代表所有自变量）考虑到Fˆ可能显含t(比如)t,x(UˆTˆHˆ+=)，则上式两边对t的微商可表述为：dtFddxtFˆdxtFˆdxFˆt∂Ψ∂Ψ+Ψ∂∂Ψ+Ψ∂Ψ∂=∫∫∫∗∗∗而薛定谔方程及其复数共轭方程为：Ψ=∂Ψ∂Hˆi1th；∗∗Ψ−=∂Ψ∂)Hˆ(i1th且Hˆ为厄米算符：于是：dtFddxHˆFˆi1dxtFˆdxFˆ)Hˆ(i1ΨΨ+Ψ∂∂Ψ+ΨΨ−=∫∫∫∗∗∗hhdx)FˆHˆHˆFˆ(i1dxtFˆΨ−Ψ+Ψ∂∂Ψ=∫∫∗∗h即：dtFd]Hˆ,Fˆ[i1tFˆh+∂∂=(1)此即为海森伯运动方程。其中右边第一项是由于Fˆ显含时间而引起的，即使Ψ不随t变化这一项也存在；第二项是由于Ψ随t变化而引起的，即使F不随t变化这一项也存在。二、守恒定律１４４1.在运动方程dtFd]Hˆ,Fˆ[i1tFˆh+∂∂=中，如果Fˆ不显含时间t，即0tFˆ=∂∂，并且0]Hˆ,Fˆ[=(即对易)，则有dtFd＝0，即F平均值不随时间变化。这时称F为运动积分，即守恒量。此即为量子力学中的守恒定律。2.例子（运动恒量举例）<1>自由粒子的动量当粒子不受外力，即μ=2pˆHˆ2v时如果0tpˆ=∂∂r，0]Hˆ,pˆ[k]Hˆ,pˆ[j]Hˆ,pˆ[i]Hˆ,pˆ[zyx=++=rrrr则有0tp=∂∂r，即为量子力学中的动量守恒定...
