用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司【学生版】微专题：平面向量“极化恒等式”的推导与应用极化恒等式是高等数学《泛函分析》中的知识内容；把极化恒等式降维至二维平面，则可以非常巧妙地建立向量和几何长度（数量）之间的关联，从而实现向量与几何、向量和代数的精妙结合。而且，由于极化恒等式本身所具有的作为代数与几何桥梁的特点，在近几年全国各地高考命题中迅速成为创新问题的热点，也随之出现了不少非常巧妙的向量试题；极化恒等式及其拓展1、极化恒等式：；（1）等式推导：【证明】（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的；2、平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点；则；【证明】DBCAO图(1)第1页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司3、三角形模式：如图，在中，设为的中点，则；（1）推导过程：（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决；（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差；【典例】例1、如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是；【解析1】【解析2】【解析3】【说明】本题考查了利用由极化恒等式求平面向量数量积的值；关键是：理解极化恒等式的图形特征；例2、（1）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA·PB的取值范围是________.（2）在面积S＝2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PC·PB＋BC2的最小值是__FEDCBAABCM第2页用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化学科网（北京）股份有限公司______.【说明】本题考查了借助极化恒等式求平面向量数量积最值或范围：关键是：通过转化后；借助向量的代数与几何表示，数形结合地求最值；例3、（1）在△ABC中，BC＝3，AB·AC＝4，则BC边上的中线AM的长是________；（2）设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为【归纳】极化恒等式的作用和使用范围1、极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。2、极化恒等式的适用范围：（1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；（2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积...
