第一章　1.6　平面直角坐标系中的距离公式.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第一章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村群众的出行.如何选址能使站点到两个村庄的距离之和最小?,知识点拨,一、两点间的距离公式1.平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式,2.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点A(x,y)的距离,(2)当ABx轴(y1=y2)时,|AB|=|x2-x1|.(3)当ABy轴(x1=x2)时,|AB|=|y2-y1|.,名师点析两点间的距离公式与两点的先后顺序无关,即上述公式也可以写成,微练习1已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|=.,微练习2已知点A(1,1),B(2,3),则A,B两点间的距离为(),答案 B,二、点到直线的距离公式1.平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=(其中A,B不全为0).,名师点析1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)的左边得到的.当A=0或B=0时,上述公式仍然成立.,微判断(1)当点在直线上时,点到直线的距离公式仍适用.()(2)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b0)的距离d=y0-b.(),微练习原点(0,0)到直线3x+4y-10=0的距离是()A.0B.1C.3D.2,答案 D,三、两条平行直线间的距离公式1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离,名师点析两条平行线间距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价转化为系数对应相同才能套用公式.,微思考直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y+1=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别为多少?有什么规律吗?,提示 点A,B,C到直线l2的距离分别为.规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.,微判断,答案(1)(2),解析(1)正确.,课堂篇 探究学习,例1如图,已知ABC的三顶点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).(1)判断ABC的形状;(2)求ABC的面积.,|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,ABC是等腰直角三角形.,反思感悟 两点间距离公式的应用两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.,变式训练1已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.,例2求点P(2,-3)到下列直线的距离.,反思感悟 点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a|或d=|y0-b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数.,变式训练2求在两坐标轴上截距相等,且到点A(3,1)的距离为 的直线方程.,解 当直线过原点时,设直线的方程为y=kx,即kx-y=0.,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0.,当直线不经过原点时,设所求直线的方程为,所求直线的方程为x+y-2=0或x+y-6=0.综上所述,所求直线的方程为x-y=0或x+7y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.,例3已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-21=0,l1与l2是否平行?若平行,求l1与l2间的距离.,反思感悟 求两平行线间距离一般有两种方法:(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.,变式训练3求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线方程.,解(方法一)设所求直线的方程为5x-12y+m=0,两直线的距离为2,所求直线为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.,(方法二)设所求直线的方程为5x-12y+c=0.,所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.,例4在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.,解 如图所示,设点B关于直线l的对称点B的坐标为(a,b),则kBBkl=-1,所以a+3b-12=0.,即3a-b-6=0,即直线l与AB的交点坐标为(2,5).所以点P(2,5)为所求.,反思感悟 求最值问题的处理思路(1)利用对称转化为两点之间的距离问题.(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.(3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题.,延伸探究在本例中,其他条件不变,在直线l上求到点A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小的点P的坐标.,解 如图所示,设点C关于直线l的对称点为C(m,n),变式训练4(1)动点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,求当|OP|最小时,P点的坐标;(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程.,解(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离,此时OP垂直于已知直线,则kOP=1,OP所在直线方程为y=x.,P点坐标为(2,2).,(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大,kOP=2,所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.,对称问题1.点关于点的对称典例1点A(2,3)关于Q(1,2)的对称点A的坐标为.,x=0,y=1,A的坐标为(0,1).,答案(0,1),2.点关于直线对称典例2点P(-3,4)关于直线x+y-2=0的对称点Q的坐标是()A.(-2,1)B.(-2,5)C.(2,-5)D.(4,-3),答案 B,3.直线关于直线的对称典例3在平面直角坐标系中,直线y=2x+1关于y=x-2对称的直线l的方程为()A.x-4y-11=0B.4x-y+11=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0,直线l过点(-3,-5).在直线y=2x+1上取一点A(0,1),设点A关于y=x-2对称的点为B(a,b),答案 D,方法总结 关于对称问题,分成两大类,即中心对称和轴对称.(1)点关于点的对称:求A(x0,y0)关于Q(a,b)的对称点A(x,y),可以利用公式,对称问题的解决,要充分利用对称的几何性质,同时还要注意运算的策略和方法,所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.,1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(),答案 B,2.已知点P(a,2),Q(-2,-3),M(1,1),且|PQ|=|PM|,则a的值是()A.-2 B.2,答案 C,3.分别过点M(-1,5),N(2,3)的两直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是.答案 3解析 d=|2-(-1)|=3.,4.(2020山西太原五中高二期中)与两条平行直线l1:3x+2y-6=0,l2:6x+4y-3=0距离相等的直线的方程是.,答案 12x+8y-15=0,5.求与直线l:3x-4y-11=0平行且与直线l的距离是2的直线方程.,解 设所求的直线方程为3x-4y+c=0.,所求直线的方程为3x-4y-1=0或3x-4y-21=0.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,