第二章　1.1　椭圆及其标准方程.pptx

高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HAU SHE JI,第二章,2021,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,课前篇 自主预习,激趣诱思,哈雷彗星是一颗周期性彗星,肉眼可以看到.因英国科学家埃德蒙哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.天文学家是如何计算出哈雷彗星出现的准确时间呢?原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.,知识点拨,一、椭圆的定义1.定义平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距.2.定义的集合语言表述集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|.,名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.,微练习下列说法中,正确的是()A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆,答案 C,二、椭圆的标准方程,名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.2.两种椭圆(ab0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有ab0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.,3.给出椭圆方程=1(m0,n0,mn),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.,微练习(1)若椭圆方程为=1,则其焦点在轴上,焦点坐标为.(2)已知椭圆的焦点在y轴上,一个焦点为(0,2),椭圆上一点到两焦点的距离之和是10,则椭圆的标准方程为.,答案(1)x(2,0)和(-2,0),微拓展,课堂篇 探究学习,例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);,反思感悟 求椭圆标准方程的方法,(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程.(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”.当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意ab0这一条件.(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0且mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.,变式训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程:,解(1)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,例2如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.,解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤,变式训练2如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.,解 如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=52c=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,例3已知P为椭圆=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,F1PF2=60,求F1PF2的面积.,在PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|.,延伸探究若将本例中“F1PF2=60”变为“PF1F2=90”,求F1PF2的面积.,在PF1F2中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+36,反思感悟(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.(2)焦点三角形的常用公式焦点三角形的周长L=2a+2c.在PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2.,变式训练3 如图,已知经过椭圆=1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.,(1)求AF1B的周长;(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长有变化吗?为什么?,故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,AF1B的周长为20.(2)如果AB不垂直于x轴,AF1B的周长仍为20不变.理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.,求与椭圆有关的轨迹问题典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.,由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=108=|BC|,因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.由a=5,c=4,得b2=a2-c2=25-16=9.,解 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).,方法总结 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.,变式训练已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y2=1上任一点,求线段AQ中点M的轨迹方程.,解 设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0).,1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为()A.5B.6C.7D.8,答案 D,解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,|PF1|=2,结合椭圆定义有|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.,2.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(),答案 A,解析 c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+)D.(0,1),答案 D,4.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=21,则F1PF2的面积是.,答案 4,|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|PF2|=21,|PF1|=4,|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,PF1F2是直角三角形,且F1PF2=90,5.若ABC的三边长a,b,c成等差数列,且b=6,求顶点B的轨迹方程.,解 以AC所在的直线为x轴,AC的中点为原点,建立平面直角坐标系(图略),则A(-3,0),C(3,0),设B(x,y),则|BC|+|AB|=a+c=2b=12,B点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且a=6,c=3,b2=27.故所求的轨迹方程,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,