高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI等差数列、等比数列专题三2022内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.等差数列、等比数列的基本公式数列等差数列等比数列通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n项和公式Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d(1)当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q;(2)当q=1时,Sn=na1名师点析数列的本质是定义域为N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数.2.等差数列、等比数列的常用性质数列等差数列等比数列性质(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;性质(2)an=am+(n-m)d,d=;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列(2)an=amqn-m,qn-m=;(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sm≠0)an-amn-manam3.判断数列是等差数列的常用方法(1)定义法:an+1-an=d(d∈R,n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.4.判断数列是等比数列的常用方法(1)定义法:𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(q∈R,且q≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(2)中项公式法:𝑎𝑛+12=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.名师点析1.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数列;“数列{an}是常数列”是“数列{an}既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件.2.“=an·an+2(n∈N*)”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件,在判断一个数列是等比数列时,要注意各项均不为0.𝑎𝑛+12关键能力•学案突破突破点一突破点二突破点三突破点四突破点一等差数列、等比数列的基本运算[例1](2021·山东龙口模拟)在①a1+a3=b3,②b2+S5=-b4,③a1+a9=-4这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中.若问题中的m存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Tn,若,,且b1=2,T4=5T2,是否存在大于2的正整数m,使得4S1,S3,Sm成等比数列?突破点一突破点二突破点三突破点四解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0).由题意知q≠1,由T4=5T2,得𝑏1(1-𝑞4)1-𝑞=5𝑏1(1-𝑞2)1-𝑞,整理得1+q2=5,因为q>0,所以q=2.所以bn=2n.当选取①②时,有൜𝑎1+𝑎3=8,4+𝑆5=-16,所以൜2𝑎1+2𝑑=8,𝑎1+2𝑑=-4,解得൜𝑎1=12,𝑑=-8.所以Sn=-4n2+16n.所以S1=12,S3=12,Sm=-4m2+16m.若4S1,S3,Sm成等比数列,则𝑆32=4S1Sm,即122=4×12(-4m2+16m),所以4m2-16m+3=0,解得m=2±ξ132.突破点一突破点二突破点三突破点四因为m为正整数,所以不符合题...
