高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第三章2021内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一应用空间向量证明位置关系例1如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.证明(1)如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设PA=AD=a,AB=b,则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0). M,N分别为AB,PC的中点,∴Mቀ𝑏2,0,0ቁ,Nቀ𝑏2,𝑎2,𝑎2ቁ,∴𝑀𝑁ሬሬሬሬሬሬሬԦ=ቀ0,𝑎2,𝑎2ቁ.(方法一)𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ=(0,0,a),𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ=(0,a,0),∴𝑀𝑁ሬሬሬሬሬሬሬԦ=12𝐴𝐷ሬሬሬሬሬԦ+12𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ.又 MN⊄平面PAD,∴MN∥平面PAD.(方法二)由题意知𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ为平面PAD的一个法向量. 𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ=(b,0,0),∴𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ·𝑀𝑁ሬሬሬሬሬሬሬԦ=0,∴𝐴𝐵ሬሬሬሬሬԦ⊥𝑀𝑁ሬሬሬሬሬሬሬԦ.又MN⊄平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)由(1)知,P(0,0,a),C(b,a,0),Mቀ𝑏2,0,0ቁ,D(0,a,0),∴𝑃𝐶ሬሬሬሬሬԦ=(b,a,-a),𝑃𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=ቀ𝑏2,0,-𝑎ቁ,𝑃𝐷ሬሬሬሬሬԦ=(0,a,-a).设平面PMC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则ቊ𝑛1·𝑃𝐶ሬሬሬሬሬԦ=0,𝑛1·𝑃𝑀ሬሬሬሬሬሬԦ=0,即൝𝑏𝑥1+𝑎𝑦1-𝑎𝑧1=0,𝑏2𝑥1-𝑎𝑧1=0,∴൝𝑥1=2𝑎𝑏𝑧1,𝑦1=-𝑧1.令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则ቊ𝑛2·𝑃𝐶ሬሬሬሬሬԦ=0,𝑛2·𝑃𝐷ሬሬሬሬሬԦ=0,即ቊ𝑏𝑥2+𝑎𝑦2-𝑎𝑧2=0,𝑎𝑦2-𝑎𝑧2=0,∴൜𝑥2=0,𝑦2=𝑧2.令z2=1,则n2=(0,1,1). n1·n2=0-b+b=0,∴n1⊥n2,∴平面PMC⊥平面PDC.方法技巧利用空间向量证明平行、垂直关系的方法(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两个不共线向量来线性表示直线的方向向量.(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(4)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题.(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂...
