第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN.(1)解由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM，PN＝，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.题型二探索性问题例2(2018·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为(1,0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＝，y2＝.若QF＝2PF，则＝2×，即＝2×，3m＋6＝－6m＋12，解得m＝(舍负)，故直线l的方程为x－2y－＝0.(2)由(1)知，y1＋y2＝，y1y2＝，所以...
