2.4线段的垂直平分线(1)观察如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？⊥AD=ADlAA.,发现：我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=2=∠90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？探究探究作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：想一想我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.结论到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.跟踪练习1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.答：∠CAE=50°.2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明： AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又AB与CD相交于点O∴AO=BO.做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.分析：根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等...
