第四节线段的垂直平分线（一）用心想一想，马到功成如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?AB线段垂直平分线的性质：定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．已知：如图，直线MNAB⊥，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．NAPBCM证明： MNAB⊥，∴∠PCA=PCB=90°∠ AC=BC，PC=PC,∴△PCAPCB(SAS)≌△；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC，∴RtPACRtPBC(HL)△≌△．∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．CBPA证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APCBPC(SSS)≌△．∴∠PCA=PCB(∠全等三角形的对应角相等)．又 ∠PCA+PCB=180°∠，∴∠PCA=PCB=90°∠∠，即PCAB⊥∴P点在AB的垂直平分线上．CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．CBPA已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P点在AB的垂直平分线上．证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C． AP=BP，∠APC=BPC∠，PC=PC，∴△APCBPC(SAS)≌△．∴AC=BC，∠PCA=PCB∠又 ∠PCA+PCB=180°PCA=PCB=90°∠∴∠∠∴P点在线段AB的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定：定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．练一练已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．证明： AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？加强应用在RtABC△中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于点D，则∠BCD的度数是多少？ABCDMN分析：由点D在线段AC的垂直平分线上，可以得到DA=DC，即△DAC是等腰三角形，问题解决.解： 点D在线段AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∴∠DAC=∠A=40° ∠B=90°...
