学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足()A．b＝acB．b2＝acC．a＝b＝cD．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sinAsinC＝0，即sin2B＝sinAsinC，∴b2＝ac.【答案】B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为()A.B.C.D.【解析】 S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝1＋16－2×1×4×＝13，∴a＝.【答案】D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.B．1C．2D.【解析】S△ABC＝acsinB＝c＝2，∴c＝4.b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，∴b＝5，∴R＝＝＝.【答案】D4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.【解析】在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.整理得AB2－2AB－3＝0，解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝.【答案】B5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，所以3b＝20acosA＝20(b＋1)·＝20(b＋1)·，整理得7b2－27b－40＝0，解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.结合正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空题6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为_____．【解析】画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝.【答案】7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为________．【解析】由bcsinA＝220得c＝55，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝2401，所以a＝49.【答案】498．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为________.【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°，整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，∴S△ABC＝acsinB＝×3×5sin120°＝.【答案】三、解答题9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.【证明】由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以2＋2＝52...
