2023年全国高中数学联合竞赛加试〔A卷〕试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、〔此题总分值50分〕如题一图，给定凸四边形，，是平面上的动点，令．〔Ⅰ〕求证：当到达最小值时，四点共圆；〔Ⅱ〕设是外接圆的上一点，满足：，，，又是的切线，，求的最小值．[解法一]〔Ⅰ〕如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有．因此．因为上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时，…．10分又因，此不等式当且仅当共线且在上时取等号．因此当且仅当为的外接圆与的交点时，取最小值．故当达最小值时，…四点共圆．20分〔Ⅱ〕记，那么，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得…，30分答一图1解得或〔舍去〕，故，．由=,有，即，整理得，故，可得…，40分从而，，为等腰直角三角形．因，那么．又也是等腰直角三角形，故，，．故．…50分[解法二]〔Ⅰ〕如答一图2，连接交的外接圆于点〔因为在外，故在上〕．过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，那么，又因，，得，同理有，，所以∽…．10分设，，，那么对平面上任意点，有答一图2，从而．由点的任意性，知点是使达最小值的点．由点在上，故…四点共圆．20分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，的最小值，记，那么，由正弦定理有，从而，即，所以，整理得…，30分解得或〔舍去〕，故，．由=,有，即，整理得，故，可得…，40分所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在上，，所以为矩形，，故，所以．…50分[解法三]〔Ⅰ〕引进复平面，仍用等代表所对应的复数．由三角形不等式，对于复数，有，当且仅当与〔复向量〕同向时取等号．有，所以〔1〕，从而．〔2…〕10分〔1〕式取等号的条件是复数与同向，故存在实数，使得，，所以，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆．〔2〕式取等号的条件显然为共线且在上．故当达最小值时点在之外接圆上，…四点共圆．20分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知．以下同解法一．二、〔此题总分值50分〕设是周期函数，和1是的周期且．证明：〔Ⅰ〕假设为有理数，那么存在素数，使是的周期；〔Ⅱ〕假设为无理数，那么存在各项均为无理数的数列满足，且每个都是的周期．[证]〔Ⅰ〕假设是有理数，那么存在正整数使得且，从而存在整数，使...
