2004考研数一真题解析.pdfVIP免费

一、填空题(1)【答案】y=x−1【详解】方法1：因为直线x+y=1的斜率k1−=1，所以与其垂直的直线的斜率k2满足121kk，所以21k，即21k，曲线lnyx上与直线1xy垂直的切线方程的斜率为1，即11()lnxyx，得1x，把1x代入lnyx，得切点坐标为)0,1(，根据点斜式公式得所求切线方程为：01(1)yx，即1yx方法2：本题也可先设切点为l)(,n00xx，曲线lnyx过此切点的导数为1100xyxx，得10x，所以切点为00(,ln)1,0xx，由此可知所求切线方程为01(1)yx，即1yx.(2)【答案】2()ln21x【详解】先求出()fx的表达式，再积分即可.方法1：令etx，则xtln，1xet，于是有ttftln()，即.ln()xxfx两边积分得2ln1()lnln(ln)2xfxdxxdxxCx.利用初始条件(1)0f,代入上式：21(1)(ln1)02fCC，即0C，故所求函数为()fx=2(ln)21x.方法2：由lnxxe，所以xxxfee()lnlnxxxxeeee，所以.ln()xxfx下同.(3)【答案】23【详解】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析关注公众号【考研题库】保存更多高清资料L为正向圆周222xy在第一象限中的部分，用参数式可表示为.20:s,2incos,2yx于是2Lxdyydx202cos2sin22sin2cosdd20[2cos2cos22sin2sin]d222222200[2cos4sin][2cossin2sin]dd22222000[22sin]22sinddd220021cos2d222000131cos22sin2222d3133sinsin002222(4)【答案】212xcxcy【详解】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换txe化为常系数线性齐次微分方程即可.令txe，有1ln,dttxdxx，则1dydydtdydxdtdxxdt，221dyddydxdxxdt211dyddyduvvduudvxdtxdxdt211dyddydtxdtxdtdtdx2222222111dydydydyxdtxdtxdtdt代入原方程：222211420dydydyxxyxdtdtxdt，整理得32022ydtdydtdy，此式为二阶齐次线性微分方程，对应的特征方程为2320rr，所以特征根为：121,2rr，12rr，所以32022ydtdydtdy的通解为...