1定积分的计算补充内容1.区间再现公式设()fx为连续函数，则()().bbaafxdxfabxdx=+−思考：如何证明？【例1】求()π40ln1tanxdx+.2.三角函数积分变换公式设()fx在区间0,1上连续，则1）ππ2200(sin)(cos)fxdxfxdx=；证明：由区间再现公式，πππ222000π(sin)sin(cos)2fxdxfxdxfxdx=−=2）ππ200(sin)2(sin)fxdxfxdx=，ππ200(cos)2(cos)fxdxfxdx=；证明：()()()()ππππ022ππ00022πππ222000(sin)(sin)(sin)(sin)sinππ(sin)sin2sinfxdxfxdxfxdxfxdxftdtfxdxftdtfxdx=+=+−−=+=()()()()()()()()ππππ022ππ00022πππ222000coscoscoscoscosππ(cos)cos2sinfxdxfxdxfxdxfxdxftdtfxdxftdtfxdx=+=+−−=+=23）ππ00π(sin)(sin)2xfxdxfxdx=；证明：由区间再现公式，()()()()()000000(sin)sinsinsin(sin)(sin)2xfxdxxfxdxfxdxxfxdxxfxdxfxdx=−−=−=注：在0,π上2(cos),(cos)fxfx可以看作(sin)fx，(cos)fx不可看作(sin)fx.4）华理士公式：ππ2200(1)!!π·,2!!2sincos(1)!!,3!!nnnnnxdxxdxnnn−==−为正偶数，为正奇数.（证明见全书例题）5）π22π2π0004sin,sincos0,nnnxdxnxdxxdxn==为正偶数，为正奇数.（证明见全书例题）【例2】计算定积分()()12222-1ln111xxxxxdx++++−【例3】设*nN，求π20sinsincosnnnxdxxx+.【例4】证明柯西不等式：设()(),fxgx在积分区间,ab连续，则()()222()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx
