直通车0基础阶段测测试卷 线代 解析【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

直通车-线代-零基础阶段测试卷-解析时间：120分钟满分：100分1.求解方程211123049xx=.【解析】方程左端的三阶行列式2223418921256Dxxxxxx=++−−−=−+由2560xx−+=解得2x=或3x=.（提示：或根据范德蒙行列式计算）2.设矩阵1020020010100001−=−A，矩阵B满足2+++=ABBAEO，则+BE=.【答案】112−【解析】2+++=ABBAEO，即()()()4,11++=−++=−=BEAEEBEAE，故11=.12+=−+BEAE3.设向量组3,,12aaa线性无关，判断向量组23,,1bbb的线性相关性：（1）223312,23,53112b=a+ab=a+ab=a+a；（2）2333,2,−++112212b=aab=aab=a+aa.【解析】（1）()()123123105,,=,,123030bbbaaa，而10512360030=≠，于是()()123123,,=R,,3R=bbbaaa，故123,,bbb的线性无关.（2）()()123123101,,=,,121011−bbbaaa，而1011210011−=，于是()123,,2R≤bbb，故123,,bbb的线性相关.4.设有线性方程组：()()()1231231231+0131xxxxxxxxxλλλλ++=+++=+++=，问λ取何值时，方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解.【解析】因系数矩阵A为方阵，方程组有无穷多解0A⇔=2111111111111(3)111(3)00(3)11111100Aλλλλλλλλλλλ+=+=++=+=+++（1）当03λλ≠≠−且，方程组有唯一解；（2）当0λ=时，111011101113000111100000Ab=→，2()1RAbRA=≠=，方程组无解；（3）当=3λ−时，()()2RR==AB，方程组有无限多个解，此时12311=12,10xcRxcx−+−∈.5.设四元齐次线性方程组I：122400xxxx+=−=，II：12323400xxxxxx−+=−+=.求：（1）方程I与II的基础解系；（2）I与II的公共解.【解析】（1）由方程I得1424xxxx=−=.因此方程I的基础解系为()T10010=ξ,()T21101=−ξ.由方程II得14234xxxxx=−=−.因此方程II的基础解系为()T10110=ξ,()T21101=−−ξ.（2）I与II的公共解就是方程III:12241232340000xxxxxxxxxx+=−=−+=−+=的解.因为方程组III的系数矩阵11001001010101011110001201110000~rA−−=−−−,所以与方程组III同解的方程组为1424342xxxxxx=−==.方程组III的基础解系为()T1,1,2,1=−ξ因此I与II的公共解为()T1,1,2,1,xccR=−∈.6.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3，求3257−+AA...