■广东省汕头市澄海凤翔中学徐春生题型一、组数问题例1用0,1,2,3,4,5可以组成个无重复数字且比2000大的四位偶数。解析:完成这件事可分为三类。①第一类是个位数字为0的比2000大的四位偶数,可以分三步完成:第一步,选取千位上的数字,只有2,3,4,5可以选择,有4种选法;第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数字外,还有4个数字可以选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法。由分步乘法计数原理知,这类数的个数为4×4×3=48。②第二类是个位数字为2的比2000大的四位偶数,可以分三步完成:第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0,只有3个数字可以选择,有3种选法;第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾2个数字之后,还有4个数字可以选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法。由分步乘法计数原理知,这类数的个数为3×4×3=36。③第三类是个位数字为4的比2000大的四位偶数,其方法步骤同第二类,有36个数。对以上三类用分类加法计数原理,得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48+36+36=120(个)。点评:解此类问题的步骤:(1)弄清完成这件事需要做什么;(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类;(3)弄清分步、分类的标准;(4)利用两个计数原理求解。题型二、涂色问题图1例2如图1所示,将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并且同一条棱上的两个端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同染色方法的种数为。解析:(方法一)按所用颜色种数分类。第一类,5种颜色全用,共有A55种不同的方法;第二类,只用4种颜色,则必须某两个顶点同色(A与C,或Β与D),共有2×A45种不同的方法;第三类,只用3种颜色,则A与C,Β与D必定同色,共有A35种不同的方法。由分类加法计数原理得,不同的染色方法种数为A55+2×A45+A35=420。(方法二)以S,A,B,C,D顺序分步染色。第一步,S点染色,有5种方法。第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法。第三步,Β点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法。第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类:当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,Β也不同色,所以C点有2种染色方法,D点有2种染色方法。由分步乘法、分类加法计数原理得,不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种)。点评:涂色问题常用的两种方法:(1)按61解题篇经典题突破方法高二数学2024年3月区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)按颜色的不同,以颜色为主分类讨论,用分类加法计数...
