Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1667-1680http://actams.wipm.ac.cn具有尖点环的非光滑微分系统的极限环分支杨纪华*马亮（宁夏师范学院数学与计算机科学学院宁夏固原756000)摘要：研究具有尖点环的非光滑微分系统在n次多项式非光滑扰动下的极限环分支问题.首先把扰动微分系统的一阶Melnikov函数M(h）表示成几个具有多项式系数的生成积分的线性组合，并用数学归纳法证明这些多项式的系数是相互独立的常数．然后应用M(h）的渐近展式得到从原点和尖点环附近分支出极限环个数的下界.关键词：极限环；Melnikov函数；尖点环；渐近展式.MR(2020)主题分类：34C07;34C05文章编号：1003-3998(2023)06-1667-141引言缓慢变化后的突发行为普遍存在于自然和人工系统中，通常由非光滑的数学模型来描述，如机械工程中的碰撞振动系统、含有可控开关的电路系统、神经网络等[1-3]．因此，这方面的研究倍受非线性科学界的关注.非光滑系统不仅可以产生经典的分支（如Hopf分支、极限环分支、同宿轨分支、异宿轨分支等），而且会产生只有非光滑系统才能具有的更复杂的分支，如边界碰撞分支[4,5]、擦边分支[6]等．在过去的几十年中，人们对推广光滑系统的经典分支方法来研究非光滑系统做出了许多贡献．例如,Kukucka研究了非光滑系统中同宿解的存在性问题，并证明了扰动系统中存在同宿解[7]Li和Huang研究了一类平面扰动非光滑Filippov系统的同宿轨分支和Hopf分支[8]如果一个系统对由直线或曲线分割的两个或多个不同区域中的连续向量场有不同的定义，则称该系统为切换系统.切换系统是一类非光滑系统。本文主要研究切换系统的极限环分支问题.据我们所知，研究这个问题主要有三种方法：广义Melnikov函数法、广义平均法和计算李亚普诺夫常数法．例如，文献[9]给出了相应的广义一阶Melnikov函数公式．应用这些方法,Llibre等证明从三次等时多项式系统的周期轨分支出12个极限环[10].Li等[11]构造了一个具有15个极限环的切换立方系统.Guo等[12]构造了三次切换系统，并证明该系统存在18个从中心分支的小振幅极限环。这是在这种三次切换系统中获得的小振幅极限环最大数目的一个最新的下限.文献[13]利用Melnikov函数方法，通过扰动具有广义同宿或双同宿环的分段哈密尔顿系统来考虑同宿分轨支问题.文献[14】也用这种方法给出了切换微分系统中同宿环附近极限环个收稿日期：2022-11-22；修订日期：2023-05-17E-mail:jihua1113@163.com基金项目：国家自然科学基金(12161069)、宁夏自然...
