第六章——导数的应用3（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.17粉笔考研·官方微信1第六章——导数的应用3（笔记）【注意】常数不等式和函数不等式是对应的，证明的不等式只有一个自变量x，即函数不等式，常数不等式中没有变量，只有常数。2【解析】例12.对于后面的不等式中，上式为常数不等式，也可以把a、b当作变量，这个不等式变量是比较多的。常数不等式有两种思路，要么看作没有变量，要么把里面看成变量比较多。方法一：学习数学一定要有转化的思想，把学过的常数不等式转化为函数不等式，这里需要用到常量变量化，把常量强行写为变量。方法二：不等号左右两边的函数结构一模一样，令f（x）=xsinx+2cosx+πx，0＜x＜π，仅需证0＜x＜π时，f（x）单调递增即可。【注意】对于常熟不等式，基本的证明思路有两种：一是将不等式凑成f（b）＞f（a）（b＞a）的形式，证明函数f（x）在所给的范围内单调递增，也即证明f’（x）＞0；二是常量变量化，将不等式的某个参数写成x，使常数不等式转变为函数不等式，再利用单调性证明。3【解析】例13.常量变量化，把b看为x，可以做，但是不等式比较复杂。拿到一个不等式，如果可以化简要优先化简。看到指数的关系，想到取对数，b＞a＞e时，ab＞ba成立相当于b＞a＞e时，lna/a＞lnb/b，前面所讲的两种方法均可以用。方法一：令f（x）=lnx/x，x＞e，仅需证x＞e时，f（x）单调递减即可。方法二：令f（x）=lna/a-lnx/x，x＞a＞e，仅需证x＞a＞e时，f’（x）＞0即可，f（a）=0，仅需证x＞a＞e时，f（x）单调递增即可。【注意】真题越老越香，目前的真题出题形式都是历年真题的改编+题库抽题，考研的模式基本已经固定，命题人的出题时间只有一周左右，出题的都是大学教授、院士，如果出题时间关得久，很多课题、项目没法参加，对他们的损伤是很大，考研出题对于他们来说是最小的一件事，基本是7天，7天保证每个题目是原创的话就很难，需要抄和改编，每年的真题都具有象征性的意义，尤其是年份比较久远的，赌考生不会去看这些真题。4【解析】例14.做这种题一定要建立起结论与题干之间的关系。（1）只要让不等式同时在[a，x]上积分即可。由于0≤g（t）≤1，t∈[a，b]，两边同时在[a，x]上积分，有0≤axg（t）dt�≤x-a，x∈[a，b]。（2）有a、b，为常数不等式，真题中只要分两问，80%的题目第二问会用到第一问的结论，不会做的时候可以看一下第一问。本题只能用常量变量化。【注意】对积分不等式证明的基...
