第十一章——二重积分3（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.03.20粉笔考研·官方微信1第十一章——二重积分3（笔记）三、利用极坐标计算二重积分2【注意】1.极坐标和二重积分的转换公式。2.推导可以借助于雅各比行列式，也可以借助于微元法。3.什么时候用极坐标：积分区域为圆或与圆相关的区域；被积函数为f（x²+y²）的情况。3【解析】定限的方法：1.定限的顺序：一般是先对r积分，后对𝜃积分。2.让射线穿过积分区域，找到射线与积分区域相交的部分，找到r的最大值和最小值；射线与积分区域相交的角度范围便是积分变量𝜃的上、下限。【解析】8.做二重积分先画图，是圆心在（1,0），半径为1的圆，找到区域，圆在第一象限右下角部分，有圆，可以考虑极坐标，先对r定限，从原点出发引出一条射线，找到最大值（r=2）和最小值（r=0），将圆的曲线化为极坐标；再找𝜃的上、下限，具体步骤见上图。4【注意】1.被积函数：f（x²+y²）。2.积分区域：圆与圆有关的图形。5【解析】9.先画图，被积函数出现了x²+y²，适合用极坐标，具体步骤见上图。【注意】假设D：{（x,y）|x²+y²≤2x，x²+y²≤2y}，具体步骤见上图。四、极坐标系转换为直角坐标系6【解析】10.可以先把A、C项排除，因为被积函数是f（r²）；先还原积分区间，画图，积分区域是第一象限的上面部分，先对y积分，如果先对x积分需要分情况，对应B项，具体步骤见上图。7【解析】11.r和𝜃的上下限都告诉了，极坐标不好算，将极坐标转化为直角坐标，换积分区域，画图，后面做三角代换，令x=sint，具体步骤见上图。五、对称性【注意】对称性：1.奇偶性。2.轮换对称性。8【注意】奇偶性：1.若积分区域D关于x轴对称，考查被积函数f（x,y）关于y的奇偶性。2.若积分区域D关于y轴对称，考查被积函数f（x,y）关于x的奇偶性。9【解析】12.f是奇函数，g是偶函数，画图，积分区域关于x轴对称，或者把y写成-y是不变的，关于x轴对称，找被积函数关于y的奇偶性，A项是奇函数，B项是偶函数，C项也是偶函数，D项不一定等于0，对应A项，具体步骤见上图。【注意】假设被积函数是xy，考虑x的奇偶性，将y看成常数，是奇函数；考虑y的奇偶性，将x看成常数，也是奇函数。10【解析】13.x²+y²≤2y，将x写成-x，为（-x）²+y²≤2y，不变，说明积分区域关于y轴对称。由于积分区域D关于y轴对称，优先考虑被积函数关于x的奇偶性，具体步骤见上图。【解析】14.计算二重积分，先画图，有xy，利用转换公式，...
