第九章——常微分方程2（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.02.23粉笔考研·官方微信1第九章——常微分方程2（笔记）【注意】全微分方程（数学一）：全微分方程一般结合第二类曲线积分中与路径无关的情况进行考查，我们将在多元函数积分学部分讲解，这里不再赘述。【注意】1.高阶微分方程在学习过程中主要有两类，第一是关于线性微分方程的性质；高阶微分方程不是每个都可以求解，只有特定类型才能够求解，第二个内容是求解问题。2.一阶线性微分方程：y’+p（x）y=q（x）。3.二阶线性微分方程：y’’+p（x）y’+q（x）y=f（x），线性即y’’、y’、y都是一次的。4.三阶线性微分方程：y’’’+p（x）y’’+q（x）y’+g（x）y=f（x）。2【注意】二阶线性微分方程：1.形如y’’+p（x）y’+q（x）y=f（x）的微分方程称为二阶线性微分方程。2.当f（x）=0时，即y’’+p（x）y’+q（x）y=0称为二阶齐次线性微分方程；否则称为二阶非齐次线性微分方程。3.二阶线性微分方程的求解主要考查p（x），q（x）恒为常数的情形，即二阶常系数线性微分方程，相应的齐次方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，一般形式为y’’+py’+qy=0；相应的非齐次方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，一般形式为y’’+py’+qy=f（x）。4.不是所有的二阶线性微分方程都可以求解，只有特定的情况才能够求解，y’和y前面的函数p（x）、q（x）是常数时，对应的二阶线性微分方程才能够求解。3【注意】叠加原理：设y1（x）是方程y’’+p（x）y’+q（x）y=f1（x）的特解，y2（x）是方程y’’+p（x）y’+q（x）y=f2（x）的特解，则y=k1y1（x）+k2y2（x）是方程y’’+p（x）y’+q（x）y=k1f1（x）+k2f2（x）的解。4【注意】1.叠加原理就是等号右边函数f（x）的叠加对应等号左边解的叠加。2.齐次解的任意线性组合仍是齐次的解，齐次解+非齐次解=非齐次解，非齐次解-非齐次解=齐次解。3.齐次通解=2个线性无关的齐次解的线性组合，非齐次通解=齐次通解+非齐次特解。二阶微分方程，如果可以找到两个解，且不成比例，那么不能合并，二阶微分方程可以写为y=c1y1+c2y2，c1y1+c2y2为所谓的二阶齐次线性微分方程的解。4.上述结构定理适用于n阶线性微分方程。5【解析】10.二阶非齐次线性微分方程通解的结构为非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，只要找到齐次通解和非齐次特解即可，y1、y2、y3都可以作为非齐次特解，齐次通解等于两个线性无关解的线性组合，首先要找两个齐次的解，已知三个...
