９４§3.3电子在库仑场中的运动重点：电子在库仑场中运动的结果的理解难点：电子在库仑场中运动的求解过程一、粒子在辏力场（中心对称或球形对称场）中的运动：特点：)r(U)r(U=r与ϕθ,无关，中心对称。辏力场在经典物理及量子力学中都是一类重要问题。原子中电子在核电场中的运动，核中单个核子在其余核子产生的平均场中运动都属于这类问题。定态dingeroSchr&&方程为：Ψ=ΨEHˆ(1)其中：)r(U2Hˆ22+∇μ−=h，Ψ=ΨEHˆ在球坐标系中的可以表示为：Ψ=Ψ+Ψϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θ+∂∂∂∂μ−E)r(U]sin1)(sinsin1)rr(r[r2222222h即：Ψ=Ψ++⊥E)]r(UTˆTˆ[r其中：μ=∂∂∂∂−μ=2pˆ)]rr(rr[21Tˆ2r222rh为径向动能算符(2))rrˆpˆpˆrrˆ(21pˆrrrrr⋅+⋅=(3)（这样才能保证其厄米性）=⊥Tˆ2222222r2Lˆ]sin1)(sinsin1[r2μ=ϕ∂∂θ+θ∂∂θθ∂∂θμ−h９５μ=μ×=⊥2pˆr2)pˆr(222rr为横向（角）动能算符(4)于是方程可以写为：Ψ=Ψ+μ+E)]r(Ur2LˆTˆ[22r(5)采用分离变量法，设),(Y)r(R),,r(ϕθ=ϕθΨ，代入上式后两边同除以2r2RYμ，得22r2LYLˆY1R]E)r(UTˆ[Rr2−=−=−+μ于是：0R]E)r(Ur2LTˆ[22r=−+μ+(径向dingeroSchr&&方程)(6)YLYLˆ22=（角向方程）(7)而角向方程YLYLˆ22=的解与辏力场的具体形式无关，即：22)1(Lhll+=，),(YYmϕθ=l所以径向dingeroSchr&&方程可以表述为：0R]Er2)1()r(UTˆ[22r=−μ+++hll(8)即：)r(ER)r(R]r2)1()r(U)rr(rr2[22222=μ+++∂∂∂∂μ−hllh二、电子在库仑场中的运动（辏力场的一种形式）1.定态方程：质量为μ，带电e−的电子受核电荷为Ze的吸引势能，即体系势能：９６rZe)r(U2s−=其中1Z=，为氢原子；1Z>，为类氢原子，如+He、++Li和+++Be等。于是径向dingeroSchr&&方程为：)r(ER)r(R]r2)1(rZe)rr(rr2[222s222=μ++−∂∂∂∂μ−hllh(9)2.径向dingeroSchr&&方程及其解：<1>径向dingeroSchr&&方程的变形：由于22222222drRddrdRr2]drRdrdrdRr2[r1)drdRr(drdr1+=+=222222drRddrdRr2drdRr1drRddrdRr1]drdRrR[drdr1)rR(drdr1+=++=+=即：)rR(drdr1)drdRr(drdr12222=(10)于是)r(ER)r(R]r2)1(rZe)rr(rr2[222s222=μ++−∂∂∂∂μ−hllh可以改写为：)r(ER)r(R]r2)1(rZe[)rR(drdr12222s222=μ++−+μ−hllh(11)令r/)r(u)r(R=，则径向dingeroSchr&&方程变形为：)r(Eu)r(u]r2)1(rZe[dr)r(ud2222s222=μ++−+μ−hllh(12)讨论：径向dingeroSchr&&方程与一维方程相比较，形式上相似，但有两９７...
