-167-第十四章稳定状态模型虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。§1微分方程稳定性理论简介定义1称一个常微分方程（组）是自治的，如果方程（组）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==)(),(),(1tftxftxFdtdxNM（1）中的)(),(xFtxF=，即在F中不含时间变量t。事实上，如果增补一个方程，一个非自治系统可以转化自治系统，就是说，如果定义⎥⎦⎤⎢⎣⎡=txy，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1),()(txFyG且引入另一个变量s，则方程（1）与下述方程)(yGdsdy=是等价的。这就是说自治系统的概念是相对的。下面仅考虑自治系统，这样的系统也称为动力系统。定义2系统)(xFdtdx=（2）的相空间是以),,(1nxxL为坐标的空间nR，特别，当2=n时，称相空间为相平面。空间nR中的点集},,1,)2()(|),,{(1nitxxxxiinLL==满足称为系统（2）的轨线，所有轨线在相空间中的分布图称为相图。定义3相空间中满足0)(0=xF的点0x称为系统（2）的奇点（或平衡点）。奇点可以是孤立的，也可以是连续的点集。例如，系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dycxdttdybyaxdttdx)()(（3）当0=−bcad时，有一个连续的奇点的集合。当0≠−bcad时，)0,0(是这个系统的唯一的奇点。下面仅考虑孤立奇点。为了知道何时有孤立奇点，给出下述定理：-168-定理1设)(xF是实解析函数，且0x系统（2）的奇点。若)(xF在点0x处的Jacobian矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=jixfxJ)(0是非奇异的，则0x是该系统的孤立奇点。定义4设0x是（2）的奇点，称（i）0x是稳定的，如果对于任意给定的0>ε，存在一个0>δ，使得如果δ<−|)0(|0xx，则ε<−|)(|0xtx对所有的t都成立。（ii）0x是渐近稳定的，如果它是稳定的，且0|)(|lim0=−∞→xtxt。这样，如果当系统的初始状态靠近于奇点，其轨线对所有的时间t仍然接近它，于是说0x是稳定的。另一方面，如果当∞→t时这些轨线趋于0x，则0x是渐近稳定的。定义5一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。对于常系数齐次线性系统（3...
