-175-第九章插值与拟合插值：求过已知有限个数据点的近似函数。拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。§1插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。1.1拉格朗日多项式插值1.1.1插值多项式用多项式作为研究插值的工具，称为代数插值。其基本问题是：已知函数)(xf在区间],[ba上1+n个不同点nxxx,,,10L处的函数值)(iixfy=),,1,0(niL=，求一个至多n次多项式nnnxaxaax+++=L10)(ϕ（1）使其在给定点处与)(xf同值，即满足插值条件),,1,0()()(niyxfxiiinL===ϕ（2）)(xnϕ称为插值多项式，),,1,0(nixiL=称为插值节点，简称节点，],[ba称为插值区间。从几何上看，n次多项式插值就是过1+n个点))(,(iixfx),,1,0(niL=，作一条多项式曲线)(xynϕ=近似曲线)(xfy=。n次多项式（1）有1+n个待定系数，由插值条件（2）恰好给出1+n个方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaaLLLLLLLLLLLLLLL22101121211000202010（3）记此方程组的系数矩阵为A，则nnnnnnxxxxxxxxxALLLLLLLLLL212110200111)det(=是范德蒙特(Vandermonde)行列式。当nxxx,,,10L互不相同时，此行列式值不为零。因此方程组（3）有唯一解。这表明，只要1+n个节点互不相同，满足插值要求（2）的插值多项式（1）是唯一的。插值多项式与被插函数之间的差)()()(xxfxRnnϕ−=-176-称为截断误差，又称为插值余项。当)(xf充分光滑时，),(),()!1()()()()(1)1(baxnfxLxfxRnnnn∈+=−=++ξωξ其中∏=+−=njjnxxx01)()(ω。1.1.2拉格朗日插值多项式实际上比较方便的作法不是解方程（3）求待定系数，而是先构造一组基函数)())(()()())(()()(110110niiiiiiniiixxxxxxxxxxxxxxxxxl−−−−−−−−=+−+−LLLL)10(,0,n,,ixxxxnijjjijL=−−=∏≠=)(xli是n次多项式，满足⎩⎨⎧=≠=ijijxlji10)(令∑∑∏==≠=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−==nininijjjijiiinxxxxyxlyxL000)()(（4）上式称为n次Lagrange插值多项式，由方程（3）解的唯一性，1+n个节点的n次Lagrange插值多项式存在唯一。1.1.3用Matlab作Lagrange插值Matlab中没有现成的Lagrange插值函数，必须编写一个M...
