Malhemitica数学物理学报2023,43A(6):1699-1709http://actams.wipm.ac.cn渐近周期函数的Tauberian定理及其在抽象Cauchy问题中的应用1,2简伟刚1龙薇*（江西师范大学数学与统计学院南昌330022；2豫章师范学院数学与计算机学院南昌330103)摘要：周期函数的有界原函数是周期函数，而渐近周期函数的有界原函数未必是渐近周期函数.该文引入了缓慢周期函数的概念，并证明了渐近周期函数的有界原函数是缓慢周期函数．有趣的是，缓慢周期函数恰好是一类特殊的S-渐近周期函数，而S-渐近周期函数早在15年前就被引入且近年来被广泛研究.在此基础上，建立了渐近周期函数的Tauberian定理及两个相关Tauberian定理．此外，将所得Tauberian定理应用到非齐次抽象Cauchy问题，得到了Cauchy问题的解具有S-渐近周期性的谱集判定定理．该文建立的渐近周期函数的Tauberian定理和抽象Cauchy问题的谱集判定定理的结论虽然比渐近周期性略弱，但彻底去掉了文献[23]中的遍历性假设，最后，构造了一个具体的Cauchy问题作为例子。值得一提地是，该Cauchy问题的非齐次项是渐近周期函数，但它的解却不是渐近周期的而是S-渐近周期的。这说明了S-渐近周期函数是一些微分方程解的“自然”函数类。关键词：渐近周期；缓慢周期；S-渐近周期；抽象Cauchy问题；Tauberian定理；Beurling谱.MR(2020)主题分类：34G10;43A60;47D06文章编号：1003-3998(2023)06-1699-111引言本文主要利用Tauberian定理考察非齐次Cauchy问题u'(t)=Au(t)+Φ(t),tER的解在无穷远处的渐近周期状态，这里A是Banach空间X上的Co-算子半群的生成元，Φ是从R到X的连续映射．所谓Tauberian定理是指从函数的某些平均性质（例如函数的谱集性质）推导出它在无穷远处的渐近性态．Tauberian定理通常是一些简单结果的逆定理．例如，函数f在无穷远处趋近于零，则易见该函数的平均值函数F(t)=Jf(s)ds也是在无穷远处趋近于零的，但是反过来不一定成立．要用函数的平均状态推导出函数的渐近性态，往往需要添加一些附加的条件，这些条件通常称为Tauberian条件，而这类定理通常称为Tauberian定理。关于Tauberian定理的更多内容，读者可以参见文献[21,第9章］或文献[2，第4章].收稿日期：2023-01-16；修订日期：2023-04-10E-mail:yuzhu@jxnu.edu.cn;lwhope@jxnu.edu.cn基金项目：国家自然科学基金(11861037)、江西省双千计划(jxsq2019201001)和江西省自然科学基金重点项目(20212ACB201003)SupportedbytheNSFC(11861037),theTwoThousandT...
