-336-第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。§1变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。1.1变分法的基本概念1.1.1泛函设S为一函数集合，若对于每一个函数Stx∈)(有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作))((txJ。S称为J的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于xy平面上过定点),(11yxA和),(22yxB的每一条光滑曲线)(xy，绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(xy的泛函))((xyJ。由微积分知识不难写出dxxyxyxyJxx)('1)(2))((212∫+=π（1）容许函数集可表示为})(,)(],,[)(|)({2211211yxyyxyxxCxyxyS==∈=（2）最简单的一类泛函表为∫=21),,())((ttdtxxtFtxJ&（3）被积函数F包含自变量t，未知函数x及导数x&。（1）式是最简泛函。1.1.2泛函的极值泛函))((txJ在Stx∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0tx接近的Stx∈)(，都有))(())((0txJtxJ≥。所谓接近，可以用距离ε<))(),((0txtxd来度量，而距离定义为|})()(||,)()({|max))(),((00021txtxtxtxtxtxdttt&&−−=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。)(0tx称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(tx在)(0tx的增量记为)()()(0txtxtx−=δ也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作))(())()((00txJtxtxJJ−+=Δδ如果JΔ可以表为-337-))(),(())(),((00txtxrtxtxLJδδ+=Δ其中L为xδ的线性项，而r是xδ的高阶项，则L称为泛函在)(0tx的变分，记作))((0txJδ。用变动的)(tx代替)(0tx，就有))((txJδ。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数：0))()(())((=+∂∂=ααδαδtxtxJtxJ（4）这是因为当变分存在时，增量)),(()),(())(())((xtxrxtxLtxJxtxJJαδαδαδ+=−+=Δ根据L和r的性质有)),(()),((xtxLxtxLδααδ=0)),((lim)),((lim00==→→xxxtxrxtxrδαδαδααδαα所以ααδαδααα)()(lim)(00xJxxJxxJ−+=+∂∂→=)(),(),(),(lim0xJxxLxxrxxLδδααδαδα==+=→1.1.4极...
