第八章——特征值与特征向量（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.05.15粉笔考研·官方微信1第八章——特征值与特征向量（笔记）【注意】剩下的一个月好好复盘前面的内容，迎接强化阶段。前面介绍的只是线性代数的一小部分（最多占40%），考得最多的是后三章（特征值与特征向量、相似对角化、二次型）。【注意】特征值和特征向量不仅是基础，而且直接考的也不少，只要单独考查特征值与特征向量，基本上都是小题，难度值不大，平均得分率也比较高，记住概念、性质以及计算即可。【注意】1.设A为n阶矩阵，λ是一个数，若存在一个n维的非零列向量α（如果α=0，那么Aα=0，λα=0，这样研究就没有意义）使关系式Aα=λα成立，则称α是矩阵A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量，即特征向量属于特征值。2.特征向量必须是非零向量。2【解析】例1.直接用定义，λ=1，3+2a=1，解得a=-1。【注意】特征值与特征向量的求法：1.Aα=λα，λ、α未知，Aα-λα=0，（A-λE）α=0，α≠0，（A-λE）x=0有非0解，意味着系数矩阵不满秩，|A-λE|=0，可以解出λ，再算（A-λE）3x=0的非0解，对应的就是α。2.求解特征值与特征向量的三步法：（1）写出特征多项式|λE-A|，写成|A-λE|也可以。（2）令|λE-A|=0，解出特征值λi。（3）对于每一个特征值λi，求出（A-λiE）x=0的非零解α，即为属于特征值λi的特征向量。（A-λiE）x=0和（λiE-A）x=0相同，假设λ=2，算A-2E比算2E-A简单。【注意】1.注：（1）特征向量α为（A-λE）x=0的非零解。（A-λE）α=0，α≠0。（2）n阶矩阵有n个特征值；任一特征值都对应无穷多特征向量，因为齐次线性方程组有无穷组解。2.如果A是三阶方阵，特征值：可以是三个不一样的λ1、λ2、λ3，可以是两个一样的λ1、λ1、λ2，三个一样的λ1、λ1、λ1。4【解析】例2.先写出特征多项式，|λE-A|=（λ-2）*（λ-1）²，所以A的特征值为1、1、2，然后分情况讨论，k1≠0，k2≠0。【解析】练3.先写出特征多项式，|λE-A|=（λ-7）²*（λ+2）=（λ-7）*（λ-7）*（λ+2），所以A的特征值为7、7、-2，然后分情况讨论，要求k1、k2不全为0，k3≠0。5【注意】小结：计算三阶矩阵特征值的基本思路：1.先利用行列式的元素特点化出一个零。2.观察化出来的零所在的行或列，如果剩下的两个元素有公因子，则进一步再化出一个零，再将行列式展开；如果剩下的两个元素没有公因子，则返回第一步，重新尝试在其他位置化零。6【注意】特...
