第十一章——二重积分2（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.03.15粉笔考研·官方微信1第十一章——二重积分2（笔记）【注意】在一点能确定某个变量是另一个变量的充要条件，例如x是y的函数，f’（x）≠0。【注意】拉格朗日重述法，牢记住一点，从约束条件中，如果可以解出某个2变量，或从约束条件中，某个变量可以写成另一个变量单值函数，把条件解出来，然后回代即可。【注意】1.二重积分比上一章更重要，考试的标配是大题+小题，尤其是数二，每年必考，数三10年里考查8次，偶尔1、2年不考，数学一基本上10年内3、4年考查大题，但小题里面一定有，数一直接考查概率不多，但是它对后面的三重积分、曲线曲面积积分是基础，在正式学习的过程中，对于数一、二、三的要求是一样的。2.考频每年都有，分值占比比较高，难度值（平均得分率）比较高，只要稍微学习、理解、计算没有问题，考试的15分是稳拿的。【注意】定积分是通过面积引出的，二重积分上升了一个维度，面积上的维3度是体积，对于二重积分从体积入手。y=f（x），abf（x）dx�，f（x）＞0，几何意义是面积，以b-a为底，f（x）为高的曲边梯形面积。Df（x，y）�dxdy，f（x，y）＞0，以积分区域D为底，f（x，y）为高的曲顶柱体的体积。【注意】1.上图形式是Df（x，y）�dxdy，积分区域D是阴影部分，里面是整个二元函数f（x，y）的定义域，红色曲面是z=f（x，y），二重积分以积分D为底，f（x，y）为高的曲顶柱体的体积。2.由于柱体的顶是弯曲的，故用微元法推导体积：（1）分割：所有的分割都是沿着自变量的方向分割，此处有两个变量，沿着x、y分割成多个小方格。（2）分割得足够小的时候，曲顶柱体的高度可以近似看作不变。（3）求和，把每个小曲顶柱体相加，从而得到体积的近似值。（4）取极限。3.为了保证误差无限小，一定要做到分割后，小的曲顶柱体高的变化不能大，一定是取完每个小柱体的底面缩成一个点。4【解析】二重积分的概念：设f（x，y）是有界区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域△σ1，△σ2，……，△σn，其中△σi表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个△σi上任取一个（ξi，ηi），并作和i=1nf（ξi，η1）�△σi，若当各小闭区域的直径中的最大值d趋于零时，该和的极限总存在，且与闭区间D的分法及点（ξi，ηi）的取法无关，则称此极限为函数f（x，y）在区域D上的二重积分，记作Df（x，y）�dxdy，即Df（x，y）�dxdy=limd→0i=1nf（ξi，η1...
