第一章——极限的计算4（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.10.11粉笔考研·官方微信1第一章——极限的计算4（笔记）第一章极限的计算【注意】极限计算本来是四次课，但是下周二又加了一次课，一共用五次课讲完，进度稍慢，但是没关系，前面稍微慢一些、后面快一些也是可以的。学完后一定要把前面的课程复习一下，因为上课能听懂与能够做题是两回事。2【注意】幂指函数的极限：00、∞0、1∞。1.幂指函数的定义：（1）最简单的幂指函数是xx，与幂函数、指数函数长的有点像，幂函数是xa，指数函数是ax。考研中经常出现幂指函数。（2）xx=elnxx=exlnx，是指数的复合函数，即y=eu，u=xlnx。一对反函数的复合仍是本身，如（√x）²=x。（3）Lnab=blna，2.幂指函数的极限（00、∞0、1∞）：（1）00=eln00=e0ln0，底数的0→0+，为0*∞；∞0=eln∞0=e0ln∞，底数的∞→+∞，为0*∞；1∞=eln1∞=e∞ln1，为0*∞。（2）一般思路是先利用对数恒等变形转化为0*∞型，再求解。34【解析】21.（1）属于00，对数恒等变形，熟练后，中间的步骤可以省略。分母是幂次函数，分子是对数函数，原式=e0=1。（3）方法一：sin0=0，属于00，用对数恒等变形，（lnsinx）’=（sinx）’/sinx=cosx/sinx=1/tanx。原式=e0=1。方法二：先把证明过程写在题目下面，可以直接用，或者把证明过程融入到解题过程中。原式=1。（2）方法一：属于∞0，对数恒等变形，熟练后可以直接写，原式=e。可以直接口算，原式=e。方法二：将证明过程融入到解题过程中，原式=e。（4）直接口算，∞0，底数部分的“∞”可以抓大头，原式=2。5【注意】小结：1.指数能够等替，因为做了对数恒等变形后，指数部分的无穷小变成乘除因子，对于00，指数部分的“0”可以等替，底数部分的“0”可以等替。2.（ab）c=ac*bc。3.10=1。4.对于∞0，指数部分的“0”可以等替，底数部分的“∞”可以抓大头（抓住起主导作用的）。5.（ab）c=abc。6.一般考查小题较多，考查大题较少，记住技巧即可。7.□→0，sin□～□。8.能替换就直接替换，替换完后，小题直接用，大题证明使用。67【解析】22.方法一：由于limx→∞x1x=1，可得题目所给极限为“00”型未定式。用洛必达法则，化简式子。∞-∞，可以用洛必达法则，也可以“抓大头”，“抓大头”不好用，则还是用洛必达法则。原式=1e。方法二：当x→+∞，x1x-1=elnxx-1～lnxx，令lnx=t，原式=e-1。【注意】1.ln0+→-∞。2.都趋于无穷时，指数函数＞幂次函数＞对...
