第十章——多元函数微分学1（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.03.06粉笔考研·官方微信题型考频分值难度值区分度多元函数的极限、连续、偏导与微分10380.3090.368多元函数导数的计算814180.6270.568多元函数的极值352960.5310.571多元函数的极限、连续、偏导与微分3130.3460.386多元函数导数的计算201040.6330.599多元函数的极值131220.5320.60337年近10年1第十章——多元函数微分学1（笔记）【注意】多元函数微分学考情：1.概念部分（多元函数的极限、连续、偏导与微分）：考查都是小题，一旦出现，难度会比较高。2.计算（多元函数导数的计算）：平均5、6分一个，有时候是小题，有时候是大题，主要以小题为主。3.应用（多元函数的极值）：平均一个9分左右，主要是大题的形式出现，每年必考的一类题型。2【注意】多元函数的概念：“元”就是指自变量的个数，一元就只有一个自变量，一元中x∈D，D是一个区间。二元函数就有两个自变量，（x,y）∈D会形成一个区域。3【注意】1.多元函数的极限、连续、可导与可微：主要针对二元函数。2.二重极限：（1）当x在x0附近取值时，f（x）与A无限接近。①去心。②充要条件：可左可右。（2）当（x,y）在（x0,y0）附近取值时，f（x,y）与A无限接近。3.与一元函数极限计算的不同点：（1）去心。（2）极限存在的充要条件。【解析】1（1）.分子可以直接用等价无穷小替换，具体步骤见上图。4【解析】1（2）.出现了sin∞，无穷小量*有界量=无穷小量，则结果=0，具体步骤见上图。【解析】1（3）.取特殊路径说明极限存在。路径一：y=x，原式=lim𝑥→0𝑥²2𝑥²=12。路径二：y=-x，原式=lim𝑥→0−𝑥²2𝑥²=−12。两个极限不相等，说明原极限不存在。也可以取一般路径，具体步骤见上图。5【解析】1（4）.考虑取一般路径，y=kx，原式=lim𝑥→0𝑘𝑥³𝑥2+𝑘²𝑥²=lim𝑥→0𝑘𝑥1+𝑘²=0。极限存在的充要条件是沿着任意路径趋近于（x0，y0）时，极限都存在。取特殊路径取不完，一类路径不能代表所有路径，所以取特殊路径只能说明极限不存在。将原式写成无穷小量*有界量=0，具体步骤见上图。6【解析】1（5）.分子是三次，分母是2次和4次，分母不是齐次，就先凑成齐次，变量代换，令u=y²，原式=lim𝑥→0𝑢→0𝑥𝑢𝑥2+𝑢²，和第（3）题一样，所以极限不存在，具体步骤见上图。【注意】这也是一种取特殊路径。7【解析】1（6）.分子是2次，分母是1次，分子次数大于分母次数，可以写成相乘的形式，但不是无穷小...
