第六章——导数的应用1（笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2024.01.03粉笔考研·官方微信1第六章——导数的应用1（笔记）【注意】上节课关于导数的定义，介绍了前两类题型，分别是具体函数在指定点处的导数，考虑用导数的定义、分段函数导数分段点外用公式，分段点处用定义。2【注意】1.可导必连续，连续不一定可导，在考试中，导数作为比连续更重要的考查重点，根据往年的试题特点，涉及可导性以及连续性判断的题目，函数在该点处多数情况下都是连续的。2.f（x）=xacos1xβ，x＞00，x≤0，（a＞0，β＞0）的连续性、可导性与参数a，β的关系：推导见PPT。（1）f（x）在x=0处可导⟺a＞1。（2）f’（x）在x=0处连续⟺a-β＞1。【注意】后面学习的很多定义本身都是抽象的，研究它需要用导数的定义。3判断抽象函数的可导性，一般要用导数的定义。1.求抽象函数在指定点处的导数，可以借助导数的定义计算。2.已知抽象函数的f’（a），写出导数定义。3.定理、公式的证明也需要用导数的定义。【解析】例18.方法一：因为有f’（0），可以对抽象函数两边同时求导，f’（1+x）=af’（x），令x=0，f’（1）=af’（0）=ab，对应D项。方法二：等式本身是抽象的，可以借助导数的定义求解。【选D】【解析】例19.利用导数定义，F’（x）4=lim△x→0F（x+△x）−F（x）△x=lim△x→00x+△xf（t）dt−0xf（t）dt��△x，两个相减，利用积分区间的可加性，上式可写为lim△x→00x+△xf（t）dt�△x，0/0型未定式，不能洛必达法则，利用积分中值定理。由积分中值定理可知，xx+△xf（t）dt�=△xf（ξ），其中ξ介于x与x+△x之间，则F’（x）=lim△x→0△xf（ξ）△x=lim△x→0f（ξ）=limξ→xf（ξ），又f（x）连续，故limξ→xf（ξ）=f（x）。【注意】1.变限积分：被积函数连续，变限积分可导。2.极限：证明过程中是连续的，极限值等于函数值。【解析】例258.（1）所证明的是导数的乘法法则，利用导数的定义公式f’（x）=lim△→0f（x+△x）−f（x）△x证明即可。【注意】导数与极限：导数定义本身是极限，它通过极限定义，会和极限结合考查，有两种模式，分别是已知导数算极限和已知极限算导数。5【解析】例20.方法一：特殊值，该极限等于2，取特殊情况，令f（x）−1x=2，如果一个常函数等于2，极限一定为2，f（x）=2x+1，f’（x）=2。方法二：先写出f’（0）的导数定义式，第一步是先算函数值，然后再算导数值。【注意】当一个极限作为前提条件时，可以把极...
