考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）1为中华之崛起而读书高数上册核心内容快速串讲函数极限的计算（理论）主讲人：凯哥一、函数极限的通俗理解对于函数，若自变量无限趋近时，的值无限趋近于常数，则称是在趋近于的极限，并记为.我们的重要任务之一，就是用各种方法计算出的值.注1：同理，对等式子，相信同学们能够理解它们的含义；注2：在“”中，暗含了，也就是取不到，这一点特别容易被忽略.当然，至于在时，能否取到极限值，则并不确定.例如，，则有，但在的过程中，永远无法取到0，而则能取到0.注3：由于时，本身取不到（即），故和“在处是否有定义”无关，并且二者的取值是否相等还决定了函数在处是否连续.注4：的充要条件是.注5：以下几种情况一般要讨论左右两侧极限——(1)在两侧的函数表达式不同（分段函数）；(2)的表达式中含有，且计算时；(3)的表达式中含有，且计算时.（或含有，且计算时）二、无穷小和无穷大（一）无穷小以及无穷小的阶1.无穷小若，则称是当时的无穷小.注：当我们说某个函数是无穷小时，必须指明自变量的趋向.比如，“是无穷小”就是错的，但“是时的无穷小”就是对的.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）2为中华之崛起而读书2.无穷小的阶就如同两个实数可以比较大小一样，两个无穷小也可以比较大小（一般而言），我们称其为“比阶”.设，则——(1)若，则称是的高阶无穷小，记为；(2)若，则称是的同阶无穷小，记为；(3)若，则称是的等价无穷小，记为（或）.(4)若，则称是的阶无穷小.注1：准确的判断出无穷小的阶，是极其重要的一项技能——它贯穿了极限、反常积分、无穷级数！注2：并非任何两个无穷小都可以比阶，毕竟数字0不能做分母，而中出现了分母；注3：数字0是唯一的常数型无穷小.（二）无穷大以及无穷大的阶同理，我们可以定义无穷大以及无穷大的阶，方法与上面类似，略.（三）无穷小与无穷大的关系如果，则，即“无穷大的倒数，一定是无穷小”；如果，且，则（请注意二者之间的区别！）三、极限的四则运算法则设，则——(1)；(2)；(3)（分母不能为0）.‘’注1：在极限的四则运算中，“”是大前提，不可忽视！只有在拆开以后的极限都存在时，才能拆开计算，才有“和差积商的极限等于极限的和差积商”！故“”就是错误的，“”之类的写法，就是错误的.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心（快速串讲）3为中华之崛起而读书注2：接下来的口诀，会贯穿整个高等数学概念题，非常好用——存在+存在=存...
