第一章——极限的计算2（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.09.20粉笔考研·官方微信1第一章——极限的计算2（笔记）第一章极限的计算【注意】上节课主要介绍了极限的性质、概念，已经初步理解了什么是极限，研究某个东西，知道是什么后，要知道这个东西有什么性质、怎么算、怎么用，因此，极限也有极限的性质、极限的计算、极限的应用。二、极限的基本性质2【注意】极限的基本性质：1.唯一性：极限若存在必唯一。极限本质是一个数，如果存在，就是一个数。（1）前提：极限存在。（2）如图，y轴有A、B两点，x轴有x0，这种情况极限不存在。（3）左极限存在，左极限唯一；右极限存在，右极限唯一。2.有界性：（1）函数极限的局部有界性：①“去心领域”就是“附近”的意思。②lim𝑥→1x=1，x在“1”的附近有界，是局部有界性。③lim𝑥→11𝑥=0，当|x|足够大时，1/x有界，只能管这个点附近，管不了全部。（2）数列极限的整体有界性：只有n→∞。①如lim𝑥→∞1𝑛=0，当n足够大时，1/n有界。lim𝑥→∞xn=a，当n足够大时，{xn}有界，∃N＞0，当n＞N时，（x1、x2、„„、xN）有界，（xN+1、xN+2„„）有界，左边有界、右边有界，则整体有界。②有界的意思是既有上界又有下界。3【注意】1.收敛就是极限存在，收敛一定有界，有界不一定收敛。如（-1）n，奇偶数列趋向不同的数，说明极限不存在，不收敛，是发散；sinn是发散的。2.一个命题与逆否命题是同真同假的，无界一定发散，发散不一定无界。4【注意】保号性：1.去极限号：（1）lim𝑥→x0f（x）=A＞0，f（x）与A无限接近，如果都是负的或者有负的，不可能趋向正数。（2）去极限号的推广：①lim𝑥→x0f（x）＞a，lim𝑥→x0[f（x）-a]＞0，x在x0附近时，f（x）＞a。②lim𝑥→x0f（x）＞lim𝑥→x0g（x），lim𝑥→x0[f（x）-g（x）]＞0，x在x0附近时，f（x）-g（x）＞0，f（x）＞g（x）。2.加极限号：x在x0的附近，都是非负的，不可能趋向负数，f（x）≥0。极限存在为前提。3.注意（1）去极限号结论不带等号，加极限号结论带等号。函数值有正有负，如果去极限带等号，不能保证这一点附近的符号。lim𝑥→0f（x）=0，在这一点附近，函数值恒大于0。（2）条件有极限号，问函数的性质，用去极限号的方式，[f（x）-f（a）]/|x-a|＞0，分母是正的，则分子也是正的，f（x）＞f（a）。（3）lim𝑛→∞xn=a，加极限号结论带等号，则a+1/a≤2，想到高中学的均值不5等式，a²+b²≥2ab，a+b≥2√𝑎b，a、...
