高数第一章函数与极限01-16课讲义-赵老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdfVIP免费

赵军高等数学零基础课程1.1函数1.2极限的定义1.3极限的运算法则1.4极限的计算1.5函数的连续性一、函数的定义DxfDxxfyyDfRyf),()((对应规则)(值域)(定义域)•定义域使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；区间邻域二、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数称为基本初等函数.要掌握基本初等函数的图像。幂函数：uyx指数函数：0,1xyaaa对数函数：log0,1ayxaa三角函数：sin,cos,tan,cot,sec,cscyxyxyxyxyxyx反三角函数：arcsin,arccos,arctan,arccotyxyxyxyx三、函数的运算gR1.复合函数fDuufy),(,),(DxxgufgDR且则Dxxgfy,])([设有函数称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.DgfDfyux例如,函数链:,arcsinuy,cosxu,cosarcsinxyxR但可定义复合函数21xu时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数]1,1[,)1arcsin(2xxy当改两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:,2cotxy],π)12(,π2(kkxZk02cot,2ππ2πxkxk时),2,1,0(π,cotkkvvu),(,2xxv约定:为简单计,书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.设函数,1,1,13)(xxxxxf)]([xff1)(,1)(3xfxfx换为f(x)1)(,)(xfxf0x0,49xx1)13(3x10,13xx1,xx例1..)]([xff求解:2.反函数(1)反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射,则存在一新映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.,其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增,)(1存在xfy且也单调递增性质:,)(:1DDff使,)(,)(1xyfDfy其中,)(yxf2)函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称.例如,),(,exyx对数函数),0(,lnxxy互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线xy对称.指数函数xyO)(xfy)(1xfyxy),(abQ),(baP例2.求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,eyxy21x当时,1e2xy则]e2,2(,ln12yxy反函数y]1,0(,xx]0,(,exx]e2,2(,ln12xx定义域为]e2,2(]1,(21,e210,ln01,12xxxxxx212...