2025定积分与反常积分第七章定积分第一节第二部分题型分析题型一、定积分的概念与性质(★★★)相关知识点一、定积分几何意义()bafxdx是x轴()fx及,xaxb==之间的曲边梯形面积代数和二、()fx在[,]ab上可积的充分条件(1)设()fx在[,]ab上连续则()fx在[,]ab上可积.(2)设()fx在[,]ab上有界且只有有限个间断点则()fx在[,]ab上可积.三、定积分的性质性质5定积分比较定理定理1如果在[,]ab上,()()fxgx则()()bbaafxdxgxdx()ab.推论如果在区间[,]ab上，()0fx则()0bafxdx()ab.定理2如果[,][,]cdab，且()0fx，则()().dbcafxdxfxdx性质7|()||()|bbaafxdxfxdx()ab.解题思路——这部分主要考察1.定积分的定义；2.定积分的几何意义；3.定积分的性质，尤其是定积分大小的比较；4.利用积分中值定理去积分号.【例7.1.1】如图，曲线段的方程为()yfx=，函数()fx在区间[0,]a上有连续的导数，则定积分0()axfxdx等于().(A)曲边梯形ABOD的面积(B)梯形ABOD的面积(C)曲边三角形ACD的面积(D)三角形ACD的面积【例7.1.2】设4324sincos,xxIdxJdxxx−−==，则下列正确的是().(A)0IJ(B)0JI(C)0IJ(D)0JI【例7.1.3】极限sinlim.npnnxdxx+→=题型二：变限积分的概念与求导法则(★★★)1.定义2.变限积分的连续可导性如果()fx在[,]ab上连续，则()()xaxftdt=在[,]ab上可导，并且()()xfx=.如果()fx在[,]ab存在间断点但可积，则()x在[,]ab上连续.注：①如果()fx连续，则()()xaxftdt=为()fx的一个原函数.②()()xaxftdt=永远连续YYLX.3.变限积分的求导法则设()fx连续，则(1)()()xaftdtfx=.(2)()()bxftdtfx=−.(3)()()[()]()xaftdtfxx=.(4)()()[()]()bxftdtfxx=−.(5)21()2211()()[()]()[()]()xxftdtfxxfxx=−.(6)对于()(,)xafxtdt，要先将被积函数中的x分离至积分外再求导.解题思路——根据变限积分的性质与求导法则求解，属于常规问题.【例7.1.4】设()fx为已知连续函数，0()stItftxdx=，其中0,0st，则I的值().(A)依赖于s和t(B)依赖于s，t，x(C)依赖于t和x，不依赖于s(D)依赖于s，不依赖于t【例7.1.5】设()fx是奇函数，除0x=外处处连续，0x=是其第一类间断点，则0()xftdt是().(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在0x=间断的奇函数(D)在0x=间断的偶函数【...
