—1—0基础知识点12一、知识框架二、知识点概要1.概念01(,)lim(,)niiidiDfxydxdyf注：（二重积分的几何意义）二元函数(,,)zfxyz=的图像是三维空间中的一个曲面，当(,)0fxy³时，(,)Dfxydxdy表示以D为底，以该曲面为曲顶的曲顶柱体的体积.2.二重积分的性质（1）(,)(,),DDkfxydkfxydk为常数（2）[(,)(,)](,)(,)DDDfxygxydfxydgxyd（3）1(,)(,),iniiDDfxydfxydD其中为D的区域划分且任两个子域最多只有边界重叠1,2,,)in（.（4）,DdAAD其中为的面积.（5）若在D上恒有(,)(,),(,)(,)DDfxygxyfxydgxyd则（6）设分别为(,)fxy在闭区域D上的最大值与最小值，A为D的面积，则：—2—(,)DmAfxydMA.（7）中值定理若(,)fxy在闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至少存在()(,)(,)DfxydfA一点,使.3．对称性（1）若积分区域关于y轴对称，则10()()()2()()()DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy，，，，，，，，，，其中1D为D在右半平面的部分.（2）若积分区域关于x轴对称，则10()()()2()()()DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy，，，，，，，，，，其中1D为D在上半平面的部分.（3）特别地，如果积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函数，则1()4()DDfxydxdyfxydxdy，，，其中1D为D在第一象限的部分4、二重积分的计算（1）直角坐标系下的积分1）定限方法（以先对y积分的情况为例）：①画一条与y轴平行的直线，观察这条直线与积分区域边界的两交点（如图），下交点为下限，上交点为上限，即21()()(,)xxfxydy.②使得直线与积分区域有交点的x的范围便是积分变量x的上下限，即21()()(,)bxaxdxfxydy.2）积分次序的选择第一个原则是尽量避免分类讨论.第二个原则是使第一步积分简单，易于计算.特殊地，如果被积函数为—3—2sinxxex，等原函数无法用初等函数表示的函数，则直接对另一个变量积分.（2）利用极坐标计算二重积分直角坐标与极坐标相互之间的变换公式为：cossinxryr，dxdyrdrd.极坐标下二重积分计算公式,cos,sinDDfxydxdyfrrrdrd.注：极坐标适用范围：积分区域为圆或与圆相关（扇形，环形等）的区域；被积函数为()22fxy+的情况.三、练习题例1.计算二重积分2ddDxyxy，其中D是...
