第四章——定积分的计算2（讲义+笔记）主讲教师：考研数学李振授课时间：2023.12.06粉笔考研·官方微信1第四章——定积分的计算2（笔记）微积分基本定理【注意】定理内容：21.变上限积分（积分上限函数）：通过几何意义了解，如图，是x的函数，对t积分，积完之后t就没有了。2.d（？），？就是积分变量。3.∫𝑓（𝑡）𝑑𝑡𝑏𝑥是积分下限函数，积分上限函数和积分下限函数统称为变限积分。4.变限积分一定连续。5.考试对于变限积分最主要的要求就是求导。3【注意】变上限积分的导数：1.变限积分为f（x）在[a,b]上的一个原函数。2.连续函数一定有原函数，原函数可以用变限积分来表示。3.若f（x）有连续导数f’（x），则f（x）可以写成∫𝑓′（𝑡）𝑑𝑡𝑥𝑎+f（a）。4.推广形式。【解析】例8.直接用公式即可，具体步骤见上图。4【注意】牛顿-莱布尼兹公式：51.证明，由于f（x）在[a,b]上连续，则∫𝑓（𝑡）𝑑𝑡𝑥𝑎为f（x）在[a,b]上的一个原函数；证明过程如图所示。2.∫𝑓（𝑥）𝑑𝑥𝑏𝑎=F（x）|𝑏𝑎=F（b）-F（a）。3.比如本章有一道题，算不定积分的时候凑微分即可，定积分要想学好，不定积分一定要学扎实。4.使用牛顿-莱布尼兹公式前提是f（x）在[a,b]上连续。5.计算定积分的核心是计算原函数，计算不定积分。【注意】定积分计算的方法：核心还是算不定积分。61.凑微分法。2.分部积分法。举例如上图。3.换元积分法：被积函数、积分变量要换，积分上下限也要换，且换限要保持对应关系。【解析】例9（1）.不定积分中是直接凑用微分，这里也一样，最后把0、1往里面代入，具体步骤见上图。【解析】例9（2）.不定积分中是令√1+𝑥=t，注意换元要换限，换限要对应，具体步骤见上图。7【解析】例9（4）.可以直接分部积分，最后e²和1往里面代，结果=4e-（4e-4）=4，具体步骤见上图。【注意】一般偶数年份比较难。8【解析】例9（3）.三角代换，令x=sint，原式=∫𝑐𝑜𝑠²𝑡𝑑𝑡𝜋6𝑎，再利用倍角公式降次，具体步骤见上图。【注意】1.x=sint，t∈[0，𝜋6],0≤sint≤1。2.t是有一个范围的，只要保证t在一个范围内，开根号就可以不用管。五、反常积分9【注意】1.函数有界、区间有限，满足了这两个条件就可以去定义定积分。2.如果这两个条件随便打破一个，就称为不正常积分，即反常积分、广义积分。3.如果打破函数有界：无界函数反常积分。4.如果打破区间有限：无穷限反常积分。10【注意】无穷限反常积分：1.反常积分就是定积分与极限的结合，定积分算个极限即...
