第二章一元函数微分学§1导数与微分1.1导数的概念与性质1.1.1函数在一点处的导数设函数=yfx)(在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量xΔ(点+xxΔ0仍在该邻域内)时,相应得到函数的增量=+−yfxxfxΔΔ00)()(.若极限=+−→→xxyfxxfxxxΔΔlimlimΔΔ0Δ0Δ00)()(存在,则称fx)(在点x0处可导,并称这个极限值为函数=yfx)(在点x0处的导数,记作fx0)(,即==+−→→xxfxyfxxfxxxΔΔlimlim,ΔΔ0Δ0Δ000)()()(也可记作===xxyxyfxxxxxxxdd,,dd000)()(.导数的定义式也可取不同的形式,常见的有下面两种:和−=+−=−→→hxxfxfxfxhfxfxfxhxxlimlim.00000000)()()()()()(1.1.2左导数与右导数若极限和−−−−→→−+xxxxfxfxfxfxxxxxlimlim000000)()()()(存在,则分别称为fx)(在点x0处的左、右导数,记作−fx0')(和+fx0')(.如果函数fx)(在开区间ab,)(内可导,且+fa')(和−fb')(都存在,则称fx)(在闭区间ab,上可导.【注】函数fx)(在点=xx0处可导函数fx)(在点=xx0处左、右导数存在且相等,即−=+fxfx00)()(.函数fx)(在闭区间ab,端点处的导数是指+fa)(和−fb)(.仅限浩哥2025届考研课程使用使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅1.1.3导数的性质导数与增量的关系:若fx0)(存在,则=+−=+yfxxfxfxxoxΔΔΔΔ000)()()()(;若fx00)(,则当→xx0时,yΔ和fxxΔ0)(是等价无穷小量.可导与连续的关系:若fx)(在点x0处可导,则fx)(在点x0处连续,即可导是连续的充分条件,但连续不一定可导.典型的反例是=yx,它在点=x0处连续而不可导.周期函数的导数:若fx)(是可导的周期为T的周期函数,则其导函数fx)(也是周期为T的周期函数.1.2微分的概念与性质1.2.1微分的定义设函数=yfx)(在某区间内有定义,x0及+xxΔ0在此区间内,若增量=+−yfxxfxΔΔ00)()(可表示为=+yAxox,ΔΔΔ)(其中A是不依赖于xΔ的常数,则称函数=yfx)(在点x0处是可微的,而AxΔ称为函数=yfx)(在点x0处的微分,记作yd,即=yAx.Δd1.2.2微分的性质可微与可导的关系:fx)(在点x0处可微的充分必要条件是fx)(在点x0处可导,且==yfxxxxdd00)(.可微与连续的关系:若fx)(在点x0处可微,则fx)(在点x0处连续.微分与增量的关系:若fx)(在点x0处可微,当→x0Δ时,如果fx00)(,则fxΔ0)(和fxxΔ0)(是等价无穷小量,即fxfxxΔΔ00)(...
